변동(Variation)

변동(variation) 또는 스프레드(spread)는 데이터들의 퍼짐 정도를 나타내는 것으로서 자료의 특성을 설명하는 기본 정보 입니다. 평균 등의 위치정보와 함께 변동을 사용하여 자료의 분포를 설명할 수 있습니다. 예를 들어 다음 자료는 다양한 금융자료를 호출할 수 있는 파이썬 라이브러리 FinanceDataReader를의 DataReader()함수를 사용하여 지정한 기간의 코스피 주가를 호출한 것입니다. 이 데이터는 연속형이므로 목록형으로 전환하기 위해 pd.cut()함수를 사용합니다. 이 함수는 구간을 지정하여 각 인스턴스에 대한 목록화된 결과를 첫번째, 두번째로 각 구간의 경계점을 반환합니다. 또한 np.histogram()을 사용하여 각 구간의 빈도수를 나타낼 수 있습니다.

pd.cut(x, bins, right=True, labels=None, retbins=False, ...)
- 1차원 배열의 각 값을 지정한 구간(bins)에 대응하는 구간(계급)을 반환합니다.
- 연속형 변수를 범주형 변수로 변환할 경우 유용합니다.
- x : 1차원 배열 객체
- bins: 계급(class) 구간의 갯수를 나타내는 정수 또는 명시적으로 구간을 구분하기 위한 리스트 객체
- right = Ture → (a, b] · right = False → [a, b)
- label: 각 계급 구간에 대한 이름을 지정. 그러므로 bins의 수와 같아야 함
- retbins: bins을 정수로 전달 할 경우 각 계급(class)의 구간을 반환
numpy.histogram(x, bins, density=False)
- x: numpy 객체로서 2차원 이상의 객체일 경우 1차원으로 자동 변환
- bins: 데이터를 그룹화하기 위한 클래스의 수 또는 각 그룹의 상한값과 하한값으로 구성한 객체
- density: True일 경우, 빈도 대신 밀도가 반환
  - $\begin{aligned} density & = \frac{frequency}{number of bin} n \\ n = sample size \end{aligned}$
- 위 식과 같이 밀도는 확률분포함수 그래프에서 $\frac{y의 길이}{x의 길이}$ 를 의미합니다. 그러므로 연속변수의 경우 한 지점에 대해 밀도를 특정할 수 없습니다. 대신에 연속변수를 몇 개의 구간으로 그룹화한 경우 밀도는 위의 식과 계산할 수 있습니다.

import numpy as np 
import pandas as pd 
import FinanceDataReader as fdr
import matplotlib.pyplot as plt

st=pd.Timestamp(2024,1, 1)
et=pd.Timestamp(2024, 7, 30)
da=fdr.DataReader("KS11", st, et)['Close']
da.head(3)

Date
2024-01-02    2669.810059
2024-01-03    2607.310059
2024-01-04    2587.020020
Name: Close, dtype: float64

da1=pd.cut(da, bins=9, labels=range(1,10), retbins=True)
da1[0].head(3)

Date
2024-01-02    5
2024-01-03    4
2024-01-04    3
Name: Close, dtype: category
Categories (9, int64): [1 <  2 < 3 <  4 ... 6 <  7 <  8 < 9]

print(np.around(da1[1], 0)) # 목록들의 범위

[2435. 2487. 2537. 2588. 2638. 2689. 2740. 2790. 2841. 2891.]

fre1, rng1=np.histogram(da, bins=9)
print(fre1) # 소그룹당 빈도수

[ 8  6  9 16 32 28 25  9  9]

print(rng1.round(0)) # 목록들의 범위

[2436. 2487. 2537. 2588. 2638. 2689. 2740. 2790. 2841. 2891.]

위 객체 da1은 Series형으로 메소드 .value_counts()를 적용할 수 있습니다.

pd객체.value_counts(normalize=False, sort=True, ascending=False, dropna=True)
- 고유한 값의 빈도수를 포함하는 Series를 반환합니다.
- normalize: 빈도수를 상대 빈도로 변환
- sort: 빈도수에 따라 결과를 정렬
  ascending=True 올림차순, False 내림차순
- dropna=True, 결측치를 제거

fre =da1[0]. value_counts()
fre

Close
5    32
6    28
7    25
4    16
3     9
8     9
9     9
1     8
2     6
Name: count, dtype: int64

위 결과를 막대그래프로 나타내면 자료의 분포 특성을 시각화 할 수 있습니다.

plt.figure(figsize=(4, 3))
bar=plt.bar(fre.index, fre,  color="brown", alpha=0.6)
for i in bar:
    height=i.get_height()
    ix=i.get_x()
    plt.text(ix, height+1, height, color="brown")
plt.xlabel("group")
plt.ylabel("freq.", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.xticks(range(1,10))
plt.ylim(0, 37)
plt.show()

스프레드 또는 변동

데이터의 최대값과 최소값의 차이 또는 중심과의 차이를 나타냄
값들의 차이가 크면 스프레드는 증가합니다.

위 그림은 자료의 분포를 나타냅니다. 이 분포는 자료로부터 계산되는 여러가지 위치정보와 다음의 변동지표로 추정할 수 있습니다.

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다.

\begin{matrix} (1) & A = P B P^{- 1} \Leftrightarrow P^{- 1} A P = B \end{matrix}

식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다.

\begin{aligned} (식 2) & B - λ I & = P^{- 1} A P - λ P^{- 1} P \\ = P^{- 1} (A P - λ P) \\ = P^{- 1} (A - λ I) P \end{aligned}

식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다.

\begin{aligned} \begin{aligned} det (B - λ I) & = det (P^{- 1} (A P - λ P)) \\ = det (P^{- 1}) det ((A - λ I)) det (P) \\ = det (P^{- 1}) det (P) det ((A - λ I)) \\ = det (A - λ I) \end{aligned} \\ \begin{aligned} ∵ det (P^{- 1}) det (P) & = det (P^{- 1} P) \\ = det (I) \end{aligned} \end{aligned}

유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...

[sympy] Sympy객체의 표현을 위한 함수들

Sympy객체의 표현을 위한 함수들 General simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다. import numpy as np from sympy import * x=symbols("x") a=sin(x)**2+cos(x)**2 a

\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)

simplify(a) 1 simplify(b)

\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}

simplify(b) x - 1 c=gamma(x)/gamma(x-2) c

\frac{Γ (x)}{Γ (x - 2)}

simplify(c)

(x - 2) (x - 1)

위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다.

\begin{matrix} (식 1) & Γ (n) = {\begin{cases} (n - 1)! & n : 자연수 \\ \int_{0}^{\infty} x^{n - 1} e^{- x} d x & n : 부동소수 \end{cases} \end{matrix}

x=symbols('x') gamma(x).subs(x,4)

6

factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다. import math math.factorial(3) 6 a=gamma(x).subs(x,4.5) a.evalf(3) 11.6 simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하...

sympy.solvers로 방정식해 구하기

sympy.solvers로 방정식해 구하기 대수 방정식을 해를 계산하기 위해 다음 함수를 사용합니다. sympy.solvers.solve(f, *symbols, **flags) f=0, 즉 동차방정식에 대해 지정한 변수의 해를 계산 f : 식 또는 함수 symbols: 식의 해를 계산하기 위한 변수, 변수가 하나인 경우는 생략가능(자동으로 인식) flags: 계산 또는 결과의 방식을 지정하기 위한 인수들 dict=True: {x:3, y:1}같이 사전형식, 기본값 = False set=True :{(x,3),(y,1)}같이 집합형식, 기본값 = False ratioal=True : 실수를 유리수로 반환, 기본값 = False positive=True: 해들 중에 양수만을 반환, 기본값 = False 예

x^{2} = 1

의 해를 결정합니다. solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다.

x^{2} - 1 = 0

import numpy as np from sympy import * x = symbols('x') solve(x**2-1, x) [-1, 1] 위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다.

\begin{array}{r} x^{2} - 1 = 0 \to (x + 1) (x - 1) = 0 \\ x = 1 or - 1 \end{array}

예

x^{4} = 1

의 해를 결정합니다. solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다. eq=x**4-1 solve(eq, set=True) ([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)}) 위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다.

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0 \to x = \pm \sqrt{- 1}, \pm 1 = \pm i, \pm 1

실수...

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