변동(Variation)

변동(variation) 또는 스프레드(spread)는 데이터들의 퍼짐 정도를 나타내는 것으로서 자료의 특성을 설명하는 기본 정보 입니다. 평균 등의 위치정보와 함께 변동을 사용하여 자료의 분포를 설명할 수 있습니다. 예를 들어 다음 자료는 다양한 금융자료를 호출할 수 있는 파이썬 라이브러리 FinanceDataReader를의 DataReader()함수를 사용하여 지정한 기간의 코스피 주가를 호출한 것입니다. 이 데이터는 연속형이므로 목록형으로 전환하기 위해 pd.cut()함수를 사용합니다. 이 함수는 구간을 지정하여 각 인스턴스에 대한 목록화된 결과를 첫번째, 두번째로 각 구간의 경계점을 반환합니다. 또한 np.histogram()을 사용하여 각 구간의 빈도수를 나타낼 수 있습니다.

pd.cut(x, bins, right=True, labels=None, retbins=False, ...)
- 1차원 배열의 각 값을 지정한 구간(bins)에 대응하는 구간(계급)을 반환합니다.
- 연속형 변수를 범주형 변수로 변환할 경우 유용합니다.
- x : 1차원 배열 객체
- bins: 계급(class) 구간의 갯수를 나타내는 정수 또는 명시적으로 구간을 구분하기 위한 리스트 객체
- right = Ture → (a, b] · right = False → [a, b)
- label: 각 계급 구간에 대한 이름을 지정. 그러므로 bins의 수와 같아야 함
- retbins: bins을 정수로 전달 할 경우 각 계급(class)의 구간을 반환
numpy.histogram(x, bins, density=False)
- x: numpy 객체로서 2차원 이상의 객체일 경우 1차원으로 자동 변환
- bins: 데이터를 그룹화하기 위한 클래스의 수 또는 각 그룹의 상한값과 하한값으로 구성한 객체
- density: True일 경우, 빈도 대신 밀도가 반환
  - \begin{align}\text{density}&=\frac{\text{frequency}}{\text{number of bin}}\text{n}\\& n=\text{sample size}\end{align}
- 위 식과 같이 밀도는 확률분포함수 그래프에서 $\frac{\text{y의 길이}}{\text{x의 길이}}$를 의미합니다. 그러므로 연속변수의 경우 한 지점에 대해 밀도를 특정할 수 없습니다. 대신에 연속변수를 몇 개의 구간으로 그룹화한 경우 밀도는 위의 식과 계산할 수 있습니다.

import numpy as np 
import pandas as pd 
import FinanceDataReader as fdr
import matplotlib.pyplot as plt

st=pd.Timestamp(2024,1, 1)
et=pd.Timestamp(2024, 7, 30)
da=fdr.DataReader("KS11", st, et)['Close']
da.head(3)

Date
2024-01-02    2669.810059
2024-01-03    2607.310059
2024-01-04    2587.020020
Name: Close, dtype: float64

da1=pd.cut(da, bins=9, labels=range(1,10), retbins=True)
da1[0].head(3)

Date
2024-01-02    5
2024-01-03    4
2024-01-04    3
Name: Close, dtype: category
Categories (9, int64): [1 <  2 < 3 <  4 ... 6 <  7 <  8 < 9]

print(np.around(da1[1], 0)) # 목록들의 범위

[2435. 2487. 2537. 2588. 2638. 2689. 2740. 2790. 2841. 2891.]

fre1, rng1=np.histogram(da, bins=9)
print(fre1) # 소그룹당 빈도수

[ 8  6  9 16 32 28 25  9  9]

print(rng1.round(0)) # 목록들의 범위

[2436. 2487. 2537. 2588. 2638. 2689. 2740. 2790. 2841. 2891.]

위 객체 da1은 Series형으로 메소드 .value_counts()를 적용할 수 있습니다.

pd객체.value_counts(normalize=False, sort=True, ascending=False, dropna=True)
- 고유한 값의 빈도수를 포함하는 Series를 반환합니다.
- normalize: 빈도수를 상대 빈도로 변환
- sort: 빈도수에 따라 결과를 정렬
  ascending=True 올림차순, False 내림차순
- dropna=True, 결측치를 제거

fre =da1[0]. value_counts()
fre

Close
5    32
6    28
7    25
4    16
3     9
8     9
9     9
1     8
2     6
Name: count, dtype: int64

위 결과를 막대그래프로 나타내면 자료의 분포 특성을 시각화 할 수 있습니다.

plt.figure(figsize=(4, 3))
bar=plt.bar(fre.index, fre,  color="brown", alpha=0.6)
for i in bar:
    height=i.get_height()
    ix=i.get_x()
    plt.text(ix, height+1, height, color="brown")
plt.xlabel("group")
plt.ylabel("freq.", rotation="horizontal", labelpad=10)
plt.xticks(range(1,10))
plt.ylim(0, 37)
plt.show()

스프레드 또는 변동

데이터의 최대값과 최소값의 차이 또는 중심과의 차이를 나타냄
값들의 차이가 크면 스프레드는 증가합니다.

위 그림은 자료의 분포를 나타냅니다. 이 분포는 자료로부터 계산되는 여러가지 위치정보와 다음의 변동지표로 추정할 수 있습니다.

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...

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Sympy객체의 표현을 위한 함수들 General simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다. import numpy as np from sympy import * x=symbols("x") a=sin(x)**2+cos(x)**2 a $\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$ simplify(a) 1 simplify(b) $\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ simplify(b) x - 1 c=gamma(x)/gamma(x-2) c $\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(x - 2\right)}$ simplify(c) $\displaystyle \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$ 위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다. $$\tag{식 1}\Gamma(n) =\begin{cases}(n-1)!& n:\text{자연수}\\\int^\infty_0x^{n-1}e^{-x}\,dx& n:\text{부동소수}\end{cases}$$ x=symbols('x') gamma(x).subs(x,4) $\displaystyle 6$ factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다. import math math.factorial(3) 6 a=gamma(x).subs(x,4.5) a.evalf(3) 11.6 simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하...

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