sympy.solvers로 방정식해 구하기

대수 방정식을 해를 계산하기 위해 다음 함수를 사용합니다.

sympy.solvers.solve(f, *symbols, **flags)

• f=0, 즉 동차방정식에 대해 지정한 변수의 해를 계산
• f : 식 또는 함수
• symbols: 식의 해를 계산하기 위한 변수, 변수가 하나인 경우는 생략가능(자동으로 인식)
• flags: 계산 또는 결과의 방식을 지정하기 위한 인수들
  • dict=True: {x:3, y:1}같이 사전형식, 기본값 = False
  • set=True :{(x,3),(y,1)}같이 집합형식, 기본값 = False
  • ratioal=True : 실수를 유리수로 반환, 기본값 = False
  • positive=True: 해들 중에 양수만을 반환, 기본값 = False

예
$x^2=1$의 해를 결정합니다.

solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다. $$x^2-1=0$$

import numpy as np
from sympy import *

x = symbols('x')
solve(x**2-1, x)

[-1, 1]

위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}x^2-1=0 \rightarrow (x+1)(x-1)=0 \\ x=1 \; \text{or}\; -1\end{aligned}$$

예
$x^4=1$의 해를 결정합니다.

solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다.

eq=x**4-1
solve(eq, set=True)

([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)})

위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다. $$x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)=0 \rightarrow x=\pm \sqrt{-1}, \; \pm 1=\pm i,\; \pm1$$ 실수해만을 고려하기 위해서는 변수를 정의할 때 그 변수의 범위를 지정합니다.
다음 코드는 변수 x를 실수로 지정하기 위해 real=True 인수를 전달하였습니다.

x=symbols('x', real=True)
eq=x**4-1
solve(eq, set=True)

([x], {(-1,), (1,)})

예
함수 $y=\frac{x+4}{2x-5}$의 해를 결정합니다.

solve((x+4)/(2*x-5), x)

[-4]

solve() 함수는 부등식의 경우에도 적용할 수 있습니다. 예를 들어 $x^2 \lt 3$의 해를 결정합니다.

solve(x**2 < 3)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle - \sqrt{3} \lt x \wedge x \lt \sqrt{3}}$

두 식 이상으로 구성된 연립방정식에 solve()를 적용할 경우 전달하는 식들은 list형식으로 입력합니다. 다음의 경우는 결과를 사전 형식으로 반환합니다.

예
다음 방정식의 해를 결정합니다. $$\begin{aligned}&2y+7x=-5\\&5y-7x=12\end{aligned}$$

x, y=symbols('x y', real=True)
eq1=2*y+7*x+5
eq2=5*y-7*x-12
sol=solve([eq1, eq2], x, y, dict=True);sol

[{x: -1, y: 1}]

위 결과의 각 요소는 다음과 같이 호출할 수 있습니다.

sol[0][x], sol[0][y]

(-1, 1)

다음은 위 예의 해를 set형으로 지정한 것으로 각 변수에 대응하는 값은 분리하여 반환됩니다.

sol1=solve([eq1, eq2], x, y, set=True);sol1

([x, y], {(-1, 1)})

solveset(식, 변수, 범위)

식의 해를 계산하는 과정에서 범위를 지정할 수 있습니다.

th =symbols('theta')
k=4*cos(th)-3; th

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \theta}$

sol=solveset(k, th, Interval(-8, 10)); sol

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \left\{- 2 \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, - 2 \pi + \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)} + 2 \pi, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)} + 2 \pi, - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{7}}{3} \right)}\right\}}$

sol.evalf(3)

$\quad\color{navy}{\scriptstyle \left\{-7.01, -5.56, -0.723, 0.723, 5.56, 7.01\right\}}$