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삼각함수의 미분

내용 sin, cos, tan의 미분 2차미분과 역함수 미분 삼각함수의 2차미분 sin, cos, tan 함수의 미분규칙 역함수의 미분 역삼각함수의 미분규칙 삼각함수(trigonometric functions)의 미분 sin, cos, tan의 미분 일반적으로 각을 표시하기 위해 그리스 문자 θ으로 사용합니다. 다음 함수를 고려해 봅니다. y = sin(θ) 이 함수에서 조사할 것은 그 함수의 변화량 (미분 계수) $\frac{d(\sin(\theta))}{d\theta}$ 입니다. 즉, 각도 θ와 sin(θ)의 변화 사이의 관계를 찾는 것입니다. 특히 증가가 무한히 작을 경우가 주된 관심 사항입니다. 이러한 관계를 그림 1에 나타내었습니다. import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(5, 5)) a=plt.axes(xlim=(-1.5, 2.5), ylim=(-1.5, 2.5)) r=plt.Circle((0, 0), 1, facecolor="none", edgecolor="navy", linewidth=2, label="radius=r") a.add_patch(r) plt.arrow(0, 0, 0.8, np.sqrt(1-(-0.8)**2), color="green", label=r"$\mathbf{degree=\theta}}$") plt.arrow(0, 0, 0.7, np.sqrt(1-(-0.7)**2), color="red", label=r"$\mathbf{degree=\theta+\Delta\theta}}$") plt.hlines(0, -1.5, 1.5, color="black") plt.vlines(0, -1.5, 1.5, co

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지수와 로그 함수의 미분

내용 지수와 로그 함수의 미분 로그 곡선(Logarithmic Curve) 지수와 로그 함수의 미분 지수와 로그가 포함된 함수들을 미분합니다. 다음은 로그 함수입니다. $$\begin{equation} y = \log_ex \; \text{또는} \; \log(x) \end{equation}$$ 위 함수 y의 역함수는 지수함수가 됩니다. 지수 급수의 미분은 원래 형태와 같으므로 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다. $$\begin{align}\tag{1} y &=\log_ex \rightarrow e^y=x\\ e^y &=\frac{dx}{dy}\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ &=\frac{1}{e^y}\\ &=\frac{1}{x} \end{align}$$ 결과적으로 로그함수의 미분은 식 2와 같이 나타낼 수 있습니다. $$\begin{equation}\tag{2} \frac{d(\log_e x)}{dx}=\frac{dy}{dx}=x^{-1} \end{equation}$$ import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt 예 1) $\displaystyle y=\log(x+a)$를 미분합니다. $$\begin{align} x+a&=e^y\\ \frac{d(x+a)}{dy}&=e^y \rightarrow \frac{dx}{dy}=e^y\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{e^y}\\ &=\frac{1}{x+a} \end{align}$$ a, x=symbols('a, x') y=log(x+a) diff(y, x) $\quad \small \color{blue}{\frac{1}{a + x}}$ 예 2) $y = \log_{10}x$를 미분

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역함수의 미분

역함수의 미분 함수 y = 3x의 종속 변수 y는 독립 변수 x에 의존합니다. 두 변수의 관계가 역전되는 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $\displaystyle x = \frac{y}{3}$ 이러한 형태를 역함수(inverse function) 이라고 합니다. 함수의 미분은 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$가 되지만 역함수의 미분은 $\displaystyle \frac{dx}{dy}$가 됩니다. 이들의 곱은 1이 됩니다. 이 과정은 다음과 나타낼 수 있습니다. $$\begin{align} y = 3x & \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3\\ x = \frac{y}{3} &\rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} &\rightarrow \frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy} = 1 \end{align}$$ 위 과정은 다음과 같이 코드화 할 수 있습니다. import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt x, y=symbols('x y') eq=y-3*x eq −3x+y y1=solve(eq, y) y1 [3*x] y1[0].diff(x) 3 x1=solve(eq, x) x1 [y/3] x1[0].diff(y) $\quad \small \color{blue}{\frac{1}{3}}$ y1[0].diff(x)*x1[0].diff(y) 1 식 $y = 4x^2$에 대해 역함수의 미분을 시행해 봅니다. x, y=symbols("x, y", real=True) eq=4*x**2-y eq 4x 2 -2 y1=solve(eq, y) y1 [4*x**2] dy=[i.diff(x) for

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부분분수의 미분

내용 방법 1 방법 2 방법 3 부분분수의 미분 분수의 미분은 일정한 공식 을 적용하여 계산할 수 있습니다. 그러나 분수 자체가 단순한 표현으로 이루어지지 않았다면 미분 과정이나 결과는 매우 복잡할 수 있습니다. 만약 복잡한 분수 함수를 간단한 분수들로 분해할 수 있다면 계산이 보다 간편해질 것입니다. 이와 같이 분해된 간단한 분수들을 부분분수 라고 합니다. 예를 들어 다음 두 분수의 합을 계산해 봅니다. $$\begin{align} \frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}&=\frac{x-1+2(x+1)}{(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{3x+1}{x^2-1} \end{align}$$ 위 과정은 3개 이상의 여러 분수에서도 이루어질 수 있습니다. 또한 역으로 진행될 수 있습니다. 즉, 분수를 부분 분수로 분할할 수 있습니다. 그러나 이러한 과정은 대수분수 (분자의 가장 큰 차수가 분모의 최고의 차수보다 작은 분수)에서만 이루어질 수 있습니다. 예를 들어 $\displaystyle \frac {x^2+2}{x^2-1}$의 경우는 분자와 분모의 차수는 2차로 같습니다. 이러한 경우 다음과 같이 분리할 수 있습니다. $$\frac{x^2+2}{x^2-1}=1+\frac{3}{x^2-1}$$ 위의 식 중 $\displaystyle \frac{3}{x^2-1}$은 분자의 차수가 분모의 차수 보다 낮은 대수 분수이므로 부분 분수로 분리할 수 있습니다. 이와같이 부분 분수로 분해하는 방법은 다음과 같이 몇 가지로 구분할 수 있습니다. 방법 1 위 예의 결과 $\displaystyle \frac{3x+1}{x^2-1}$의 경우를 역으로 생각해 봅니다. 분모의 인수분해가 가능하면 그 분모의 인수에 의해 다음과 같이 분해할 수 있습니다. $$\begin{align} \frac{3x+1}{x^2-1}&=\frac{3x+1}{(x+1)(x-1)}\\ &=\frac{A}{x+1

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극소와 극대의 결정

내용 1차와 2차 미분 계수와 극값 극대와 극소의 결정 곡선으로부터 계산되는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$는 곡선의 기울기를 의미합니다. 기울기를 다시 한번 더 미분한 결과 $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$는 그 기울기의 단위 길이 당 변화하는 비율(rate) 을 의미합니다. 간단히 말해서 경사의 곡률(curvature) 을 측정 한 것입니다. import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt 그림 1의 (a)는 직선과 (b)는 곡선을 나타낸 것입니다. plt.figure(dpi=60) x=np.linspace(-1, 5, 100) y1=x+1 y2=x**2+1 plt.plot(x, y1, label="(a)") plt.plot(x, y2, label="(b)") plt.xlabel('x', size=12, weight="bold") plt.ylabel('y', size=12, weight="bold") plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold"}) plt.xticks([]) plt.yticks([]) plt.show() 그림 1. (a)$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=0$, (b)$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}>0$. plt.figure(dpi=60) x=np.linspace(-1, 5, 100) y1=x+1 y2=x**2+1 plt.plot(x, y1, label="(a)") plt.plot(x, y2, label="(b)") plt.xlabel('x', size=1

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극대와 극소(Maxima and Minima)

극대와 극소(Maxima and Minima) 실제 상황의 어떠한 작업이나 활동을 여러 변수들의 관계인 함수로 표현할 수 있다면 그 함수의 미분에 의해 극대값 또는 극소값을 발견할 수 있습니다. 이러한 결과는 작업 비용을 최소화하거나 효율성을 극대화할 수 있는 합리적 근거를 제시할 수 있으므로 다양한 엔지니어링에서 극대와 극소는 중요한 문제로 다루어 집니다. 함수의 극대와 극소에 관한 관계를 알아보기 위해 다음과 같이 간단한 식으로부터 시작해봅니다. $$y = x^2- 4x + 7$$ 표 1. $y = x^2 - 4x + 7$에 따른 x, y 좌표 x 0 1 2 3 4 5 y 7 4 3 4 7 12 그림 1은 표 1을 나타낸 것으로 y의 극소값은 x = 2에서 3으로 나타낼 수 있습니다. 그러나 그 극소의 x 좌표가 2 주위의 어떤 값, 예를 들어 2.02 등과 같이 2+dx가 아닌 정확히 2라는 것을 확정할 수 있을까요? x=np.arange(6) y=x**2-4*x+7 x1=np.linspace(-1, 5, 100) y1=x1**2-4*x1+7 plt.figure(dpi=100) plt.plot(x1, y1) plt.scatter(x, y) plt.grid(True) plt.ylim(0, 14) plt.xlabel("x", size="12", weight="bold") plt.ylabel("y", size="12", weight="bold") plt.show() 그림 1. $y = x^2 - 4x + 7$. 질문에 답하기 위해 잠정적으로 최소가 되는 지점 주위의 많은 값들에 대응하는 y값들을 비교하는 방식으로 계산할 수 있습니다. 그러나 이러한 방식으로는 동일한 계산을 반복 하는 것은 번거로울 뿐만 아니라 정확한 지점을 찾는 것은 쉽지 않습니다. 다른

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미분의 기하학적 의미

미분의 기하학적 의미 미분 계수는 변화율을 의미하는 것으로서 그림 1과 같이 기하학적으로 나타내면 보다 명확해 집니다. 그림 1. y=x 2 +a. 그림 1에서 곡선 PQR은 X, Y의 축에 대해 작성된 곡선의 일부입니다. 이 곡선에서 점의 가로 좌표가 x이고 세로 좌표가 y인 점 Q가 x가 변할 때 y가 어떻게 변하는지 관찰할 수 있습니다. x가 작은 증분 dx 만큼 증가하면 오른쪽에서 y도 작은 증분 dy 만큼 증가하는 것을 관찰할 수 있습니다. 이것은 이 곡선이 상승 곡선이기 때문에 일어나는 현상입니다. 이 상태에서 dy와 dx의 비율은 곡선이 두 점 Q와 T 사이에서 위로 기울어지는 정도를 측정 한 것입니다. 사실 그림에서 Q와 T 사이의 기울기는 일정하지 않습니다. 즉, Q, T 사이에는 직선이 아닌 곡선이므로 다양한 기울기들 존재하기 때문입니다. 결과적으로 일정한 간격인 dy, dx에 의해 계산된 비율은 각 지점의 변화율에 대한 평균값입니다. 그러나 Q와 T가 직선이라고 간주할 수 있을 만큼 곡선의 작은 부분이라면 비율 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$은 QT에서의 곡선의 기울기라고 말할 수 있습니다. QT가 매우 작다면 점 Q에서의 곡선의 기울기는 그 구간의 기울기 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$에 근접하게 되고 그 구간이 지속적으로 작아지면 결국 이 비율은 점 Q에서의 기울기로 간주할 수 있습니다. 이것을 접선의 기울기 (slope of tangent) 라고 합니다. 그림 2는 곡선의 기울기와 미분계수의 관계를 나타낸 것으로 각각은 다음과 같습니다. 그림 2의 a는 곡선의 작은 부분의 기울기가 45°보다 큰 경우로서 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx} \gt 1$ 그림 2의 b과 같이 특정 지점에서의 기울기가 45°라면 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=1$ 그림 2의 c와 같이 특정 지점에서의 기울기가 45°보다 작으면 $\displayst

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