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대칭행렬의 대각화 대칭행렬(Symmetric matrix) 은 주 대각원소를 기준으로 위 부분과 아래부분의 원소들이 대칭되는 구조이며 대표적인 특성으로 식 1에 나타낸 것과 같이 원시행렬과 전치행렬은 같습니다. $$\tag{식 1}A = A^T$$ 식 1은 모든 대칭행렬에 대한 특성이지만 고유값 분해의 조건 을 만족하는 가역적 대칭행렬의 경우는 다음의 특성을 가집니다. 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 직교(orthogonal) 관계에 있습니다 정규직교(orthonormal) 관계로 변형할 수 있습니다. 식 2와 같이 가역적 대칭행렬을 구성하는 각 열벡터($x_1,\; x_2$)의 내적은 0가 됩니다. $$\tag{식 2} x_1^Tx_2=0$$ 식 2의 증명은 식 3과 같이 λ 1 x 1 T x 2 를 정리하는 것으로 시작합니다. \begin{align}\lambda_1 x_1^Tx_2&= (\lambda_1 x_1)^Tx_2\\ & = (Ax_1)^Tx_2\\ \tag{식 3} & = x_1^TA^Tx_2 \\& = x_1^TAx_2\\ & = x_1^T\lambda_2x_2\\& = \lambda_2 x_1^Tx_2\\ \because&\; A=A^T\end{align} 식 3을 정리하면 식 4와 같이 나타낼 수 있습니다. \begin{align}\lambda_1 x_1^Tx_2& = \lambda_2 x_1^Tx_2\\\tag{식 4} \Rightarrow & \lambda_1 x_1^Tx_2 - \lambda_2 x_1^Tx_2=0\\ \Rightarrow& (\lambda_1 -\lambda_2)x_1^Tx_2=0 \end{align} 식 5.3.4에서 고유값 λ 1 과 λ 2 이 서로 다르기 때문에 고유벡터들 x 1 과 x 2 의 내적이 0 이어야 합니다. 이것은 두 벡터의 내적이 0인 것으로 그 고유벡터들은 서로 직교 관계에 있음을 ...

대각화(Diagonalization) 정방행렬 A의 고유값과 고유벡터의 관계는 식 1과 같습니다. \begin{align}\tag{식 1}Av&=\lambda v= v \lambda\\ A&=v\lambda v^{-1}\\& v,\, \lambda:\;\text{고유벡터, 고유값} \end{align} 식 1은 유사변환과 동일한 형식을 나타내지만 유사변환이 되기 위해서는 v, λ 모두 정방행렬이 되어야 합니다. 그러므로 식 1을 식 2와 같이 유사변환 하기 위해서는 식 1의 고유벡터와 고유값은 각각 고유행렬(P)과 고유값을 대각원소로 하는 대각행렬(D)을 치환됩니다(식 3). 고유벡터는 기저벡터이므로 고유행렬은 가역행렬입니다. $$\tag{식 2} A=PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP=B$$ 고유값을 대각행렬로 전환하기 위해 np.diag(대각요소들) 을 적용합니다. A=np.array([[3,1],[1,3]]) eigVal, eigVec=la.eig(A) D=np.diag(eigVal) print(D) [[4. 0.] [0. 2.]] sim=eigVec@D@la.inv(eigVec) print(np.isclose(A, sim)) [[ True True] [ True True]] 위 관계는 식 3과 같이 유사변환으로 나타낼 수 있습니다. \begin{align}\tag{식 3}A&=PDP^{-1}\\P:&\;\text{고유행렬}\\D:&\;\text{고유값으로 구성된 대각행렬} \end{align} 식 3은 결국 행렬 A를 기저벡터들로 구성된 행렬들로 분해(factorization)한 것 입니다. 정방 행렬 A가 고유행렬 P와 대각행렬 D를 사용하여 식 3과 같이 유사변환이 가능하다면 행렬 A는 대각가능(Diagonalizable) 하다고 합니다. 즉, n×n 차원의 정방행렬 A가 n개의 고유벡터를 가진다면 대각화가 가능합니다. 고유벡터는 기저벡터를 의미하...