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치환미분 결합함수의 미분 을 계산하기 위해 사용할 수 있는 치환방법을 소개했습니다. 이것을 좀더 일반화하여 여러 형태에 사용되는 치환미분을 살펴봅니다. 다음 함수는 거듭제곱 형태로서 연쇄법칙을 적용하여 미분할 수 있습니다. $$y=\sqrt{(x^2+a^2)^3}$$ 미분 계산을 위해서는 함수를 최대한 간단하게 정리하는 것이 유리합니다. 위 함수에서 $x^2 + a^2 = u$로 치환하면 다음과 같이 정리됩니다. $y=\sqrt{u^3}$ 위와 같이 치환에 의한 함수의 미분의 과정은 다음과 같습니다. $\displaystyle u=x^2+y^2$ $\displaystyle y=\sqrt{u^3}$ $\displaystyle \frac{du}{dx}=2x$ $\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{3\sqrt{u}}{2}$ $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$ 위 과정의 1과 2 단계는 치환 과정이며 3과 4 단계는 각각 치환된 함수를 미분한 것입니다. 최종 결과인 5 단계에서는 3과 4 단계의 결과들을 곱하고 치환 함수를 원래의 함수로 환원시킨 것입니다. 위의 5 단계를 계산하면 다음과 같습니다. $$3x\sqrt{u}=3x\sqrt{x^2+a^2}$$ 위의 모든 과정을 코드화하면 다음과 같습니다. a, u, x=symbols('a, u, x') u1=x**2+a**2 y=u**(Rational('3/2')) dydu=diff(y, u) #dy/du dydu $\quad \small \color{blue}{\frac{3 \sqrt{u}}{2}}$ #치환 dudx=diff(u1, x) dudx #du/dx $\quad \small \color{blue}{2x}$ dydx=dydu*dudx dydx $\quad \small \color{blue}{3 \sqrt{u} x}$ #환원 dydx.subs...

내용 함수들의 합과 차 함수들의 곱 미분의 곱법칙 함수들의 나눗셈 분수의 미분규칙 지수 형태의 미분 연쇄법칙 함수들의 합과 차 두 개 이상으로 구성된 함수의 합에 대해 미분을 고려해 봅니다. 먼저 간단한 예로 다음 식의 미분을 계산합니다. $$\begin{align} y&=(x^2+c)+(ax^4+b)\\ \frac{dy}{dx}&=2x+4ax^3 \end{align}$$ x, a, b, c =symbols("x, a, b, c") y=(x**2+c)+(a*x**4+b) y ax 4 +b+c+x 2 diff(y, x) 4ax 3 +2x 위 과정은 미분 개념 을 적용하여 계산한 것입니다. 이를 응용하여 특정한 부분을 새로운 변수로 치환하는 방법을 적용해 봅니다. 먼저 위 식의 우항들을 다음과 같이 치환합니다. $$\begin{align} x^2+c&=u\\ax^4+b&=v\\ y&=u+v \end{align}$$ 위 식의 치환된 각항은 x로 구성되어 있음으로 이 식의 최종 미분인 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$와 u와 v의 미분 관계를 식 1과 같이 정의할 수 있습니다. $$\begin{align}\tag{1} \frac{dy}{dx}&=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}\\ &=\frac{d(x^2+c)}{dx}+\frac{d(ax^4+b)}{dx}\\ &=2x+4ax \end{align}$$ 위 치환 과정을 코드화하면 다음과 같습니다. x, a, b, c =symbols("x, a, b, c") u=Function('u')(x) #(1) v=Function('v')(x) #(2) eq_u=u-x**2+c eq_u c-x 2 +u(x) eq_v=v-(a*x**4+b) eq_v -ax 4 -b+v(...