치환미분

결합함수의 미분을 계산하기 위해 사용할 수 있는 치환방법을 소개했습니다. 이것을 좀더 일반화하여 여러 형태에 사용되는 치환미분을 살펴봅니다.

다음 함수는 거듭제곱 형태로서 연쇄법칙을 적용하여 미분할 수 있습니다.

$$y=\sqrt{(x^2+a^2{)}^3}$$

미분 계산을 위해서는 함수를 최대한 간단하게 정리하는 것이 유리합니다. 위 함수에서 $x^2+a^2=u$로 치환하면 다음과 같이 정리됩니다.

$y=\sqrt{u^3}$

위와 같이 치환에 의한 함수의 미분의 과정은 다음과 같습니다.

1. ${\displaystyle u=x^2+y^2}$
2. ${\displaystyle y=\sqrt{u^3}}$
3. ${\displaystyle \frac{du}{dx}=2x}$
4. ${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{3\sqrt{u}}{2}}$
5. ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}}$

위 과정의 1과 2 단계는 치환 과정이며 3과 4 단계는 각각 치환된 함수를 미분한 것입니다. 최종 결과인 5 단계에서는 3과 4 단계의 결과들을 곱하고 치환 함수를 원래의 함수로 환원시킨 것입니다. 위의 5 단계를 계산하면 다음과 같습니다.

$$3x\sqrt{u}=3x\sqrt{x^2+a^2}$$

위의 모든 과정을 코드화하면 다음과 같습니다.

a, u, x=symbols('a, u, x')
u1=x**2+a**2
y=u**(Rational('3/2'))
dydu=diff(y, u) #dy/du
dydu

$\frac{3\sqrt{u}}{2}$

#치환 
dudx=diff(u1, x)
dudx #du/dx

$2x$

dydx=dydu*dudx
dydx

$3\sqrt{u}x$

#환원
dydx.subs(u, u1)

$3x\sqrt{a^2+x^2}$

위 과정을 몇 가지 예들에 적용해 봅니다.

예 1)
  $y=\sqrt{a+x}$의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$?

$$a+x=u\to y=\sqrt{u}$$

a, u, x=symbols('a, u, x')
u1=x+a
y=u**(Rational('1/2'))
dydx=y.diff(u)*u1.diff(x)
dydx

$\frac{1}{2\sqrt{u}}$

dydx.subs(u, u1)

$\frac{1}{2\sqrt{a+x}}$

예 2)
  ${\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{a+x^2}}}$의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$?

a, u, x=symbols('a, u, x')
u1=a+x**2
y=u**(Rational('-1/2'))
dydx=y.diff(u)*u1.diff(x)
dydx

$-\frac{x}{u^{\frac{3}{2}}}$

dydx.subs(u, u1)

$-\frac{x}{{(a+x^2)}^{\frac{3}{2}}}$

y1=1/sqrt(a+x**2)
y1.diff(x)

$-\frac{x}{{(a+x^2)}^{\frac{3}{2}}}$

예 3)
  ${\displaystyle y={(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^a}$의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$?

$$u={(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^a\to y=u^a$$

a, m, n, p, u, x=symbols('a, m, n, p, u, x')
y=(m-n*x**(Rational('2/3'))+p/x**(Rational('4/3')))**a
u1=m-n*x**(Rational('2/3'))+p/x**(Rational('4/3'))
y1=u**a 
u1dx=u1.diff(x)
u1dx

$-\frac{2n}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{4p}{3x^{\frac{7}{3}}}$

y1du=y1.diff(u)
y1du

$\frac{a{u}^a}{u}$

y1dx=y1du*u1dx
y1dx.subs(u, u1)

$\frac{a(-\frac{2n}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{4p}{3x^{\frac{7}{3}}}){(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^a}{m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}}$

dydx=y.diff(x)
dydx

$\frac{a(-\frac{2n}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{4p}{3x^{\frac{7}{3}}}){(m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}})}^a}{m-n{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{p}{x^{\frac{4}{3}}}}$

예 4)
  다음 식을 미분합니다.

$$y=\frac{1}{\sqrt{x^3-a^2}}$$

위 식은 분수 형태이지만 분자가 상수이고 분모가 거듭제곱 형태이므로 치환에 의한 연쇄법칙(결합함수의 미분 참조)을 적용할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}u& =x^3-a^2\\ y& =\sqrt{u}\end{array}$$

a, u, x=symbols('a, u, x')
y=1/sqrt(x**3-a**2)
u1=x**3-a**2
y1=1/sqrt(u)
u1dx=u1.diff(x)
u1dx

$3x^2$

y1du=y1.diff(u)
y1du

$-\frac{1}{2u^{\frac{3}{2}}}$

y1dx=y1du*u1dx
y1dx.subs(u, u1)

$-\frac{3x^2}{2{(-a^2+x^3)}^{\frac{3}{2}}}$

dydx=y.diff(x)
dydx

$-\frac{3x^2}{2{(-a^2+x^3)}^{\frac{3}{2}}}$

미분, 적분의 모든 계산에 적용되는 하나의 통일된 방법은 없습니다. 각 식에 맞게 적절한 방법을 선택하는 것이 중요합니다. 위 예들은 치환할 수 있는 식을 가진 경우입니다. 그러나 구성된 식들이 여러 종류일 경우는 다른 접근이 필요합니다. 다음 예 5의 경우는 단일한 식으로 치환하여 전체 식이 간략화될 수 없는 구조이며 분수 형태입니다. 이러한 형태의 미분은 미분의 나눗셈 규칙(결합함수의 미분 참조)을 적용할 수 있습니다.

예 5)
  다음 식의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$?

$$y={\displaystyle \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x+1}}}$$

x=symbols('x')
y=sqrt(1-x)/sqrt(x+1)
de=denom(y)#분모
nu=numer(y) #분자
dde=de.diff()
dde

$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$

dnu=nu.diff()
dnu

$-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

dy=(dnu*de-nu*dde)/de**2 #(1)
simplify(dy)

$-\frac{1}{\sqrt{1-x}{(x+1)}^{\frac{3}{2}}}$

위 코드의 dy의 미분 과정은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{\frac{d\sqrt{1-x}}{dx}\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}\frac{d\sqrt{x+1}}{dx}}{x+1}\\ & =\frac{-\frac{\sqrt{1-x}}{2\sqrt{x+1}}-\frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{1-x}}}{x+1}\\ & =-\frac{1}{(x+1{)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{1-x}}\end{array}$$

물론 원래 함수를 직접 미분하는 것에 의해 같은 결과가 반환되어야 합니다.

dy2=y.diff(x)
simplify(dy2)

$-\frac{1}{\sqrt{1-x}{(x+1)}^{\frac{3}{2}}}$

예 6)
  다음 식의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$?

$$y=\sqrt{\frac{x^3}{1+x^2}}$$

다음 식은 분수형태입니다. 분수 즉, 나눗셈은 곱셈으로 표시할 수 있습니다. 그러므로 예5와 같이 미분의 나눗셈 법칙을 적용할 수 있지만 곱의 법칙 역시 적용할 수 있습니다.

$$\Rightarrow x^{\frac{3}{2}}(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$$

위 식의 $(1+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$는 예 2에서 전개한 치환미분 방법을 적용하여 계산합니다. 먼저 나눗셈 규칙을 적용합니다.

x=symbols('x')
y=sqrt(x**3)/sqrt(1+x**2)
de=denom(y)#분모 
nu=numer(y) #분자
d_de=de.diff()
d_de

$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

d_nu=nu.diff()
d_nu

$\frac{3\sqrt{x^3}}{2x}$

dy=(d_nu*de-nu*d_de)/de**2 #(1)
simplify(dy)

$\frac{(x^2+3)\sqrt{x^3}}{2x{(x^2+1)}^{\frac{3}{2}}}$

위 결과는 원 식에 대한 직접 미분과 같습니다.

dy_o=y.diff(x)
simplify(dy_o)

$\frac{(x^2+3)\sqrt{x^3}}{2x{(x^2+1)}^{\frac{3}{2}}}$

위와 같이 미분의 나눗셈 규칙 대신 곱 규칙을 적용하여 계산해 봅니다.

dy_o=y.diff(x)
y1=x**(Rational("3/2"))*(1+x**2)**(Rational("-1/2"))
y1

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2+1}}$

u=x**(Rational("3/2"))
v=(1+x**2)**(Rational("-1/2"))
dy1=u.diff()*v+u*v.diff()
simplify(dy1)

$\frac{\sqrt{x}(x^2+3)}{2{(x^2+1)}^{\frac{3}{2}}}$

예 7)
  다음 식의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$?

$$y={(x+\sqrt{x^2+x+a})}^3$$

함수 y는 거듭제곱 형태로 연쇄 규칙을 적용하여 미분 할수 있습니다.

$$\frac{dy}{dx}=3{(x+\sqrt{x^2+x+a})}^2\frac{d(x+\sqrt{x^2+x+a})}{dx}(1)$$ $$\begin{array}{rl}\frac{d(x+\sqrt{x^2+x+a})}{dx}& =\frac{dx}{dx}+\frac{d\left(\sqrt{x^2+x+a}\right)}{dx}\\ & =(1+\frac{d\left(\sqrt{x^2+x+a}\right)}{dx}(2))\\ \frac{d\left(\sqrt{x^2+x+a}\right)}{dx}& =\frac{1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\frac{d(x^2+x+a)}{dx}\\ & =\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+a}}\end{array}$$

위는 함수 y의 미분 계산 과정을 나타낸 것으로 식 (1)은 직접 미분이 어려운 경우이며 거듭제곱 형을 포함하므로 다시 연쇄 규칙을 적용하여 미분 하였습니다. 그 결과에서 식(2)의 미분에 연쇄 규칙을 반복하여 적용하면 최종 결과는 다음과 같습니다.

$${(x+\sqrt{a+x^2+x})}^2(\frac{3(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{a+x^2+x}}+3)$$

a, x=symbols('a, x')
y=(x+sqrt(x**2+x+a))**3
dydx=diff(y, x)
dydx

${(x+\sqrt{a+x^2+x})}^2(\frac{3(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{a+x^2+x}}+3)$

예 7과 같이 결과에 대한 연속적인 미분이 필요한 경우 결국 많은 미분 계수가 생성되며 최종적으로 이들을 연결하여야 합니다. 위 예의 미분 과정은 다음과 같이 간략히 나타낼 수 있습니다.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dv}\frac{dv}{dx}$$

예 7)
  $z=3x^4,v=7z^{-2},y=\sqrt{1+v}$로 부터 $\frac{dy}{dx}$?

v, x, z=symbols('v, x, z')
z1=3*x**4
dzdx=z1.diff(x)
dzdx

$12x^3$

v1=7/z**2
dvdz=v1.diff(z)
dvdz

$-\frac{14}{z^3}$

y=sqrt(1+v)
dydv=y.diff(v)
dydv

$\frac{1}{2\sqrt{v+1}}$

다음은 예의 3개의 식들을 결합하여 미분한 것입니다.

eq=y.subs(v, v1).subs(z, z1)
eq

$\sqrt{1+\frac{7}{9x^8}}$

diff(eq, x)

$-\frac{28}{9x^9\sqrt{1+\frac{7}{9x^8}}}$