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벡터 공간(vector space)과 부분공간 벡터들의 식 1과 같은 집합 V의 벡터들 사이의 선형결합 이 성립한다는 것은 선으로 표시되는 벡터들에 의해 n차원 등의 공간이 형성된다는 것을 의미합니다. 또한 선형결합의 성립은 그 결과 역시 피연산자인 벡터들에 의해 성립되는 공간에 포함되므로 집합 V에 포함됩니다. 이 집합 V를 벡터 공간(Vector space) 라고 하며 그 공간내에 포함된 벡터들 사이에 다음의 연산이 성립됩니다. V = {v 1 , v 2 , …,v n } (식 1) 표 1 벡터 공간에서의 연산 법칙 u, v ∈ Vector → u+v ∈ Vector α ∈ scalar, u ∈ Vector → αu ∈ Vector u + v = v + u (교환법칙) u + (v + w) = ( u + v) + w (결합법칙) 모든 요소가 0인 0벡터(zero vector)가 존재 u + (-u) = 0 α, β ∈ scalar, u ∈ Vector → α(βu) = (αβ) α ∈ scalar and u ∈ Vector → α(u + v) = αu + αv (분배법칙) α, β ∈ scalar and u ∈ Vector → (α + β)u = α u + β u (분배법칙) u ∈ V → 1·u = u 식 2는 두 벡터 u와 v의 선형결합을 나타낸 것입니다. 이 관계가 성립한다는 것은 두 벡터를 기본으로 하는 공간의 확대와 축소내에 선형결합의 결과가 존재함을 의미합니다. 벡터 u, v 그리고 그들의 선형결합 결과인 벡터들이 존재하는 벡터공간을 부분공간(subspace) 이라 합니다. 이 관계에서 0에 의한 스칼라배는 0벡터를 생성하므로 모든 벡터공간의 부분공간이 됩니다. \begin{align}u&=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\ \vdots \\a_n\end{bmatrix} \in W, \quad v=\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\ \vdots \\b...