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\begin{matrix} (1) & A = P B P^{- 1} \Leftrightarrow P^{- 1} A P = B \end{matrix}

식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다.

\begin{aligned} (식 2) & B - λ I & = P^{- 1} A P - λ P^{- 1} P \\ = P^{- 1} (A P - λ P) \\ = P^{- 1} (A - λ I) P \end{aligned}

식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다.

\begin{aligned} \begin{aligned} det (B - λ I) & = det (P^{- 1} (A P - λ P)) \\ = det (P^{- 1}) det ((A - λ I)) det (P) \\ = det (P^{- 1}) det (P) det ((A - λ I)) \\ = det (A - λ I) \end{aligned} \\ \begin{aligned} ∵ det (P^{- 1}) det (P) & = det (P^{- 1} P) \\ = det (I) \end{aligned} \end{aligned}

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\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)

simplify(a) 1 simplify(b)

\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}

simplify(b) x - 1 c=gamma(x)/gamma(x-2) c

\frac{Γ (x)}{Γ (x - 2)}

simplify(c)

(x - 2) (x - 1)

위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다.

\begin{matrix} (식 1) & Γ (n) = {\begin{cases} (n - 1)! & n : 자연수 \\ \int_{0}^{\infty} x^{n - 1} e^{- x} d x & n : 부동소수 \end{cases} \end{matrix}

x=symbols('x') gamma(x).subs(x,4)

6

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x^{2} = 1

의 해를 결정합니다. solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다.

x^{2} - 1 = 0

import numpy as np from sympy import * x = symbols('x') solve(x**2-1, x) [-1, 1] 위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다.

\begin{array}{r} x^{2} - 1 = 0 \to (x + 1) (x - 1) = 0 \\ x = 1 or - 1 \end{array}

예

x^{4} = 1

의 해를 결정합니다. solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다. eq=x**4-1 solve(eq, set=True) ([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)}) 위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다.

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0 \to x = \pm \sqrt{- 1}, \pm 1 = \pm i, \pm 1

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