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이차형식(Quadratic forms) ax 2 + bxy + cy 2 과 같은 이차식은 식 1과 같이 행렬 형태로 나타낼 수 있습니다. \begin{align} ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 & = \begin{bmatrix}x_1& x_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&\frac{b}{2}\\\frac{b}{2}&c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\end{bmatrix}\\ \tag{식 1} Q(x)& = x^TAx\\ &A:\; \text{대칭행렬} \\ & x:\; \text{변수벡터} \end{align} 식 1과 같이 이차식을 Q(x)로 표시하면 변수벡터와 ℝ 2 차원의 대칭행렬인 계수행렬의 내적으로 나타낼 수 있습니다. 가장 간단한 이차 형태는 Q(x) = x T Ix =‖x‖ 2 입니다. 위 Q에서 대칭 행렬 A의 대각원소들은 2차항의 계수이며 대각 외 요소들 중에 대칭된 요소들의 합은 1차 항들의 계수가 됩니다. 그러므로 ℝ 2 차원의 항등행렬(I)을 표준행렬로 적용하는 경우는 식 2의 이차식을 나타낸 것입니다. $$\tag{식 2}\begin{bmatrix}x_1& x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0\\0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=x_1^2+x_2^2$$ 식 1에서 A는 대칭행렬을 나타냅니다. 이 행렬의 대각원소들은 2차항의 계수이며 대각 외 원소들의 합은 1차 항들의 계수가 됩니다. 예를 들어 이차식의 형태 ax 2 +bxy +cx 2 는 식 2와 같이 행렬 형태로 나타낼 수 있습니다. 예 1) 대각 행렬 A와 B를 이차 형태로 표현합니다. $$A=\begin{bmatrix}4 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \quad B=\begin{bm...

고유값 분해(Eigen-Decomposition) 식 1과 같이 행렬 A가 가역행렬인 P과 대각행렬 D를 사용하여 유사변환이 가능하다면 그 행렬은 대각 가능(Diagonalizable) 하다고 합니다. 즉, 식 2와 같이 행렬 A의 고유값과 고유행렬에 대한 유사변환(Similarity transformation) 이 성립합니다. 예를 들어 2×2 정방행렬 A에 대해 고유값과 고유벡터들로 분해하는 다음과 같으며 고유값분해 (Eigenvalue Decomposition) 라고 합니다. \begin{align}\text{A}& =\text{PDP}^{-1}\\\tag{식 1}& P:\;\text{고유행렬}\\& D:\;\text{고유값으로 구성된 대각행렬}\end{align}   \begin{align} A=& \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}\\ \tag{식 2}\text{고유값}& =\begin{bmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 \end{bmatrix}\\ \text{고유행렬}& =\begin{bmatrix} v_{11}& v_{12}\\v_{21}& v_{22} \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\a_{21}& a_{22} \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} v_{11}& v_{12}\\v_{21}& v_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \lambda_1& 0\\0& \lambda_2 \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} v_{11}& v_{12}\\v_{21}& v_{22} \end{bmatrix}\right)^{-1}\end{align} 예 1) 다음 행렬 A에 위 대각화를...

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...