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로그-노말 분포(Log-normal distribution) 랜덤변수의 자연로그가 정규분포를 따른다면 랜덤변수 자체는 로그노말(log-normal) 분포를 따른다고 할 수 있습니다. X (log-normal) ⇒ Y=ln(x) (normal) Y(normal) ⇒ X=exp(Y) (log-normal) 양수인 연속 랜덤변수 X를 식 1과 같이 나타낼 수 있다고 가정합니다. $$R_x = \mathbb{R_{++}} \tag{식 1}$$ 랜덤 변수 X의 확률밀도함수가 식 2와 같다면 그 변수는 매개변수 $\mu$와 $\sigma^2$를 가지는 로그노말 분포(log-normal distribution)를 따릅니다. $$\tag{식 2} f_x(X)= \begin{cases} \frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{(\ln x -\mu)^2}{\sigma^2}\right)& \text{if}\; x \in R_x\\ 0& \text{if}\; x \notin R_x \end{cases}$$ 다음 코드는 식 2를 함수로 작성한 것입니다. def logNormPdf(x, mu, sigma): c1=1/(x*np.sqrt(2*np.pi)*sigma) c2=np.exp(-1/2*(np.log(x)-mu)**2/sigma**2) return c1*c2 양수인 랜덤변수 x에 대해 모수 중의 σ의 변화에 따른 위 로그-노말 확률밀도 함수를 적용한 행태를 나타냅니다. x=np.linspace(0.01, 10, 1000) para=[(0,0.5, 'g'), (0, 1, 'b'), (0, 2, 'r')] plt.figure(figsize=(3,2)) for i , j, z in para: p=logNormPdf(x, i, j) plt.plot(x, p, color=z, label=f"$...

베르누이분포(Bernoulli distribution)와 이항확률 분포 내용 베르누이분포(Bernoulli distribution) 이항확률분포(Binomial distribution) 베르누이분포(Bernoulli distribution) 한번의 시행에서 성공 또는 실패(1또는 0)의 결과만을 보이는 확률분포를 베르누이분포(Bernoulli distribution) 라고 합니다. 확률변수는 두개의 값만을 포함합니다. 확률변수는 두개의 값만을 포함하며 확률질량함수는 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다. \begin{align}f(x)& = P(X=x)\\ &=\begin{cases}p&\quad \text{for}\; x=1\\1-p&\quad \text{for}\; x=0\end{cases}\end{align} (식 1) 위 확률질량함수(PMF)는 하나의 매개변수(parameter) 즉, 확률 p에 의해 결정됩니다. 그러므로 이 분포는 식 2와 같이 나타냅니다. X ~ Bernoulli(P) (식 2) import numpy as np import pandas as pd from scipy import stats from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt 예 1) 1개의 주사위를 시행하는 경우 확률변수는 다음과 같습니다. 표 주사위 시행에서의 확률변수 주사위 눈 x 1 or 3 1 other 0 이 분포의 확률질량함수(PMF)와 E(x)? 확률함수와 기대값은 식 3과 같이 계산할 수 있습니다. \begin{align}f(x)&=\left(\frac{1}{3}\right)^x \left(\frac{2}{3}\right)^{1-x}\\ E(x)&=1\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{2}{3}\end{align} (식 3) ...