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예 1) 다음의 확률밀도함수(pdf)를 갖는 확률연속변수의 기대값은? $$f(x)=\begin{cases}c(x^3+x^2+1)& 0\lt x \lt 10\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$ 위 함수에서 범위 (0, 10)에서의 적분값은 1이 되어야 합니다. 이 조건을 적용하여 상수 c가 계산될 수 있습니다. 적분 계산은 파이썬 라이브러리 sympy.integrate() 함수를 적용합니다. 또한 그 적분의 결과에서 표현되는 미지수 c는 sympy.solve() 함수를 사용하여 결정할 수 있습니다. c, x=symbols("c, x") f=c*(x**3+x**2+1) F=f.integrate((x, 0, 10)) print(F) 8530*c/3 C=solve(Eq(F, 1), c);C [3/8530] 위 결과를 c로 치환한 새로운 함수를 사용하여 기대값을 계산합니다. f=f.subs(c, C[0]) print(f) 3*x**3/8530 + 3*x**2/8530 + 3/8530 위 결과인 확률함수에 대한 기대값의 계산은 식 1과 같습니다. $$\tag{식 1}E(x) = \int^{10}_0 x\left(\frac{3}{8530}x^3+\frac{3}{8530}x+\frac{3}{8530} \right)$$ E=integrate(x*f, (x, 0, 10)) print(E) 6765/853 round(float(E), 3) 7.931 확률변수가 변수 x에 대한 함수 g(x)를 정의 할 수 있는 경우 기대값은 식 2와 같이 그 함수에 대한 확률 함수 f(x)와의 곱으로 계산할 수 있습니다. $$\tag{식 2}E(g(x))=\begin{cases}\sum_{x\in S}g(x)f(x)& x:\text{이산변수},\; S: \text{표본공간}\\ \int^\infty_{-\infty}g(x)f(x)\, dx& x:\text{연속변수}\end{cases}$...