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선형미분방정식(Linear Differential Equations) 다음 식 1은 가장 높은 차수가 1차 미분을 포함하는 전형적인 선형 1계 미분방정식입니다. 기본적으로 이 형태의 방정식을 풀기 위해서는 좌항 전체를 적분 가능한 형태로 전환해 줍니다. $$\frac{dy}{dt}+p(t)y=g(t) \tag{1}$$ 식 1의 p(t)와 g(t)는 연속함수입니다. 식 1의 좌항은 특정한 함수를 첨가함으로 식 2와 같은 미분의 곱의 형태와 유사하게 만들 수 있습니다. $$\frac{d}{dx}\left(f(x)\mu(x)\right) = \frac{d[f(x)]}{dx}\mu(x)+f(x)\frac{d[\mu(x)]}{dx} \tag{2}$$ 식 1을 식 2와 같은 형태로 만들기 위해 식 1의 양변에 $\mu(t)$를 곱해줍니다. 이 함수를 적분인자(integrating factor) 라고 합니다. $$\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu(t)p(t)y=\mu(t)g(t)\tag{3}$$ 적분인자를 고려한 식 3을 식 2와 비교하면 식 4를 가정할 수 있습니다. $$\begin{align}\tag{4} & \mu(t)p(t)=\mu'(t)\\ & \frac{\mu(t)}{\mu'(t)}=p(t)\end{align}$$ 위의 가정으로 2의 좌항에 미분의 곱법칙을 적용될 수 있습니다. $$\begin{equation}\begin{aligned}&\mu(t)\frac{dy}{dt}+\mu'(t)y=(\mu(t) y)'=\mu(t)g(t)\\ & \therefore \mu(t)g(t)=(\mu(t) y)'\end{aligned}\end{equation}$$ 위 식의 양변을 적분하여 y (또는 y(t))를 다음과 같이 정리할 수 있습니다. $$\begin{aligned}&\begin{aligned}\int\mu(t)g(t)\, dt&=\int (\mu(t) y(t))...