선형미분방정식

선형미분방정식(Linear Differential Equations)

다음 식 1은 가장 높은 차수가 1차 미분을 포함하는 전형적인 선형 1계 미분방정식입니다. 기본적으로 이 형태의 방정식을 풀기 위해서는 좌항 전체를 적분 가능한 형태로 전환해 줍니다. $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{dy}{dt}+p(t)y=g(t)\end{array}$$ 식 1의 p(t)와 g(t)는 연속함수입니다. 식 1의 좌항은 특정한 함수를 첨가함으로 식 2와 같은 미분의 곱의 형태와 유사하게 만들 수 있습니다. $$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{d}{dx}(f(x)\mu (x))=\frac{d[f(x)]}{dx}\mu (x)+f(x)\frac{d[\mu (x)]}{dx}\end{array}$$ 식 1을 식 2와 같은 형태로 만들기 위해 식 1의 양변에 $\mu (t)$를 곱해줍니다. 이 함수를 적분인자(integrating factor)라고 합니다. $$\begin{array}{}\text{(3)}& \mu (t)\frac{dy}{dt}+\mu (t)p(t)y=\mu (t)g(t)\end{array}$$ 적분인자를 고려한 식 3을 식 2와 비교하면 식 4를 가정할 수 있습니다. $$\begin{array}{rl}\text{(4)}& & \mu (t)p(t)={\mu }^{\prime }(t)& \frac{\mu (t)}{{\mu }^{\prime }(t)}=p(t)\end{array}$$ 위의 가정으로 2의 좌항에 미분의 곱법칙을 적용될 수 있습니다. $$\begin{array}{rl}& \mu (t)\frac{dy}{dt}+{\mu }^{\prime }(t)y=(\mu (t)y{)}^{\prime }=\mu (t)g(t)\\ & \therefore \mu (t)g(t)=(\mu (t)y{)}^{\prime }\end{array}$$ 위 식의 양변을 적분하여 y (또는 y(t))를 다음과 같이 정리할 수 있습니다. $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}\int \mu (t)g(t)dt& =\int (\mu (t)y(t){)}^{\prime }dt\\ & =\mu (t)y(t)+C\end{array}\\ & y(t)=\frac{\int \mu (t)g(t)dt+C}{\mu (t)}\end{array}$$ 다음으로 $\mu (t)$를 결정합니다. $$\begin{array}{rl}& \mu (t)p(t)={\mu }^{\prime }(t)\\ & p(t)=\frac{{\mu }^{\prime }(t)}{\mu (t)}\end{array}$$ 위 식의 우항은 로그함수의 미분 결과입니다. $$\begin{array}{rl}& p(t)={(\ln \mu (t))}^{\prime }\\ & \int {(\ln \mu (t))}^{\prime }dt=\int p(t)dt\\ & \ln \mu (t)+k=\int p(t)dt\\ & \ln \mu (t)=\int p(t)dt+k\end{array}$$ C와 마찬가지로 k는 상수이며 부호는 그 상수 심벌에 포함되는 것으로 고려합니다. 위 식에서 $\mu (t)$를 추출하기 위해 지수함수화 합니다. $$\begin{array}{rl}\mu (t)& =\exp (\int p(t)dt+k)\\ & =\exp (k)\exp (\int p(t)dt)\\ & =k\exp (\int p(t)dt)\end{array}$$ 위 결과를 y(t)에 대입하면 $$\begin{array}{rl}y(t)& =\frac{\int \mu (t)g(t)dt+C}{\mu (t)}\\ & =\frac{\int [k\exp (\int p(t)dt)g(t)]dt+C}{k\exp (\int p(t)dt)}\\ & =\frac{\int [\exp (\int p(t)dt)g(t)]dt+\frac{C}{k}}{\exp (\int p(t)dt)}\\ & =\frac{\int [\exp (\int p(t)dt)g(t)]dt+C}{\exp (\int p(t)dt)}\end{array}$$ 결과적으로 1계 선형미분방정식의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $$y(t)=\frac{\int \mu (t)g(t)dt+C}{\mu (t)},\mu (t)=\exp (\int p(t)dt)$$

예)
다음 미분방정식의 해를 결정합니다. $$\frac{dv}{dt}=9.8-0.196v$$

$$\begin{array}{rl}& \mu (t)\frac{dv}{dt}+\mu (t)0.196v=\mu (t)9.8\\ & \text{if}\mu (t)0.196={\mu }^{\prime }(t)\to (\mu (t)\cdot v{)}^{\prime }=\mu (t)9.8\\ & \int (\mu (t)\cdot v{)}^{\prime }dt=\int \mu (t)9.8dt\to \mu (t)\cdot v+C=\int \mu (t)9.8dt\\ & v=\frac{\int \mu (t)9.8dt+C}{\mu (t)}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& \frac{{\mu }^{\prime }(t)}{\mu (t)}=(\ln (\mu (t)){)}^{\prime }=0.196\\ & \mu (t)=\exp (0.196t+k)=\exp (0.196t)exp(k)\end{array}$$ 위의 v에 $\mu (t)$를 대입하면 다음과 같습니다. $$\begin{array}{rl}v& =\frac{\int \exp (0.196t)exp(k)9.8dt+C}{\exp (0.196t)exp(k)}\\ & =\frac{\int \exp (0.196t)9.8dt+C/k}{\exp (0.196t)}\\ & =\frac{\frac{9.8}{0.196}\exp (0.196t)+C}{\exp (0.196t)}\\ & =50+C\cdot \exp (0.196t)\end{array}$$

t, C=symbols('t C')
ans=(integrate(exp(0.196*t)*9.8, t)+C)/exp(0.196*t); ans

$(C+50.0e^{0.196t})e^{-0.196t}$

위 결과는 sympy의 dsolve()함수를 적용한 결과로 확인할 수 있습니다.

v=Function('v')(t)
eq=Eq(v.diff(t), 9.8-0.196*v);eq

$\frac{d}{dt}v\left(t\right)=9.8-0.196v\left(t\right)$

sol=dsolve(eq, v); sol

$v\left(t\right)=C_1{e}^{-0.196t}+50.0$
위 예의 초기조건 v(0)=8

C1=solve(Eq(ans.subs(t, 0), 8), C); C1

[-42.0000000000000]

dsolve(eq, v, ics={v.subs(t, 0):8})

$v\left(t\right)=50.0-42.0e^{-0.196t}$

예)
다음의 미분방정식의 해를 결정합니다. $$\cos (x)y^{\prime }+\sin (x)y=2{\cos }^3(x)\sin (x)-1,y\left(\frac{\pi }{4}\right)=3\sqrt{2}$$

위 방정식의 미분항의 계수를 1로 만들기 위해 양변을 cos(x)로 나누고 양변에 적분인수 $mu(x)$를 곱합니다. $$\begin{array}{rl}& \mu (x)\frac{dy}{dx}+\mu (x)\tan (x)y=\mu (x)2{\cos }^2(x)\sin (x)-\mu (x)\sec (x)\\ & p(x)=\tan (x)\to \mu (x)=\exp (\int \tan (x)dx)=\sec (x)\end{array}$$

x=symbols('x')
mu=exp(integrate(tan(x), x)); mu

$\frac{1}{\cos \left(x\right)}$
위 식을 정리하면 $$\begin{array}{rl}& \sec (x)\frac{dy}{dx}+\sec (x)\tan (x)y=\sec (x)2{\cos }^2(x)\sin (x)-{\sec }^2(x)\\ & (\sec (x)y(x){)}^{\prime }=2\cos (x)\sin (x)-{\sec }^2(x)\\ & \int (\sec (x)y(x){)}^{\prime }dx=\int (2\cos (x)\sin (x)-{\sec }^2(x))dx\end{array}$$ 위 식의 우항의 적분은 다음과 같습니다. $$\begin{array}{rl}& \int 2\cos (x)\sin (x)dx={\sin }^2(x)+C\\ & \frac{d}{dx}\tan (x)=\frac{d}{dx}\frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\frac{\cos (x)\sin (x)+\sin (x)\cos (x)}{{\cos }^2(x)}={\sec }^2(x)\end{array}$$

integrate(2*cos(x)*sin(x)-sec(x)**2, x)

${\sin }^2\left(x\right)-\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$
그러므로 위 식을 정리하면 $$\begin{array}{rl}& \sec (x)y(x)={\sin }^2(x)-\tan (x)+C\\ & y(x)=\frac{{\sin }^2(x)-\tan (x)+C}{\sec (x)}\end{array}$$

x=symbols('x')
y=Function('y')(x)
eq=Eq(y.diff(x)+tan(x)*y, 2*cos(x)**2*sin(x)-sec(x));eq

$y\left(x\right)\tan \left(x\right)+\frac{d}{dx}y\left(x\right)=2\sin \left(x\right){\cos }^2\left(x\right)-\sec \left(x\right)$

genSol=dsolve(eq, y)
simplify(genSol)

$y\left(x\right)=C_1\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)-{\cos }^3\left(x\right)$

genSol.rhs

$C_1\cos \left(x\right)-\sin \left(x\right)-{\cos }^3\left(x\right)$

sol=dsolve(eq, y, ics={y.subs(x, pi/4):3*sqrt(2)}); sol

$y\left(x\right)=-\sin \left(x\right)-{\cos }^3\left(x\right)+\frac{15\cos \left(x\right)}{2}$

sol.subs(x, 0).evalf(4)

y(0)=6.5

sol.rhs.subs(x, 0).evalf(4)

6.5

plt.figure(dpi=100)
a=np.linspace(0, 20, 100)
b=np.array([float(sol.rhs.subs(x, i).evalf(4)) for i in a])
plt.plot(a, b)
plt.show()

예)
$t{y}^{\prime }+2y=t^2-t+1$의 해를 결정합니다. 초기조건은 $y(1)=\frac{1}{2}$입니다.

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime }+\frac{2}{t}y=t-1+\frac{1}{t}\\ & \mu (t)y^{\prime }+\mu (t)\frac{2}{t}y=\mu (t)[t-1+\frac{1}{t}]\end{array}$$ 위 식으로 부터 $$\begin{array}{rl}& {\mu }^{\prime }(t)=\mu (t)\frac{2}{t}\\ & \frac{{\mu }^{\prime }(t)}{\mu (t)}=[\ln (\mu (t)){]}^{\prime }=\frac{2}{t}\\ & \int [\ln (\mu (t)){]}^{\prime }dt=\int \frac{2}{t}dt\\ & \ln (\mu (t))=2\ln |t|=t^2\\ & \mu (t)=e^{\ln t^2}=t^2\end{array}$$ 위 결과를 원 방정식에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다. $$\begin{array}{rl}& {(\mu (t)y(t))}^{\prime }=t^2[t-1+\frac{1}{t}]\\ & \int {(t^{2}y(t))}^{\prime }dt=\int (t^3-t^2+t)dt\\ & t^{2}y(t)=\frac{1}{4}{t}^4-\frac{1}{3}{t}^3+\frac{1}{2}{t}^2+C\\ & y(t)=\frac{1}{4}{t}^2-\frac{1}{3}t+\frac{1}{2}+\frac{C}{t^2}\end{array}$$ 위 결과에 초기조건을 대입하면 C를 결정할 수 있습니다. $$\begin{array}{rl}& y(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C=\frac{1}{2}\\ & C=\frac{1}{12}\\ & y(t)=\frac{1}{4}{t}^2-\frac{1}{3}t+\frac{1}{2}+\frac{1}{12t^2}\end{array}$$

t=symbols('t')
y=Function('y')(t)
eq=Eq(t*y.diff(t)+2*y, t**2-t+1);eq

$t\frac{d}{dt}y\left(t\right)+2y\left(t\right)=t^2-t+1$

dsolve(eq, y, ics={y.subs(t, 1): Rational(1,2)})

$y\left(t\right)=\frac{t^2}{4}-\frac{t}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12t^2}$

예)
$t{y}^{\prime }-2y=t^5\sin (2t)-t^3+4t^4,y(\pi )=\frac{3}{2}{\pi }^4$의 해를 결정합니다.

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime }-\frac{2}{t}y=t^4\sin (2t)-t^2+4t^3\\ & \mu (t)y^{\prime }-\mu (t)\frac{2}{t}y=\mu (t)(t^4\sin (2t)-t^2+4t^3)\\ \\ & {\mu }^{\prime }(t)=-\mu (t)\frac{2}{t}\to \ln (\mu (t))=\int -\frac{2}{t}dt\\ & \to \mu (t)=\exp (-2\ln t)\to t^{-2}\\ \\ & \int {(t^{-2}y(t))}^{\prime }dt=\int (t^2\sin (2t)-1+4t)dt\end{array}$$ 위 결과에서 $\int t^2\sin (2t)dt$는 부분적분으로 계산됩니다. $$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}\int t^2\sin (2t)dt& =-t^2\frac{\cos (2t)}{2}+2\int t\frac{\cos (2t)}{2}dt\\ & =-t^2\frac{\cos (2t)}{2}+t\frac{\sin (2t)}{2}+\frac{1}{4}\cos (2t)\end{array}\\ & \leftarrow \int t\cos (2t)dt=t\frac{\sin (2t)}{2}-\frac{1}{2}\int \sin (2t)dt=t\frac{\sin (2t)}{2}+\frac{1}{4}\cos (2t)\end{array}$$ 그러므로 일반해는 다음과 같습니다. $$y(t)=-t^4\frac{\cos (2t)}{2}+t^3\frac{\sin (2t)}{2}+t^2\frac{1}{4}\cos (2t)-t^3+2t^4+C{t}^2$$ 초기조건을 적용하여 C를 결정합니다. $$\begin{array}{rl}& (\pi )=-\frac{{\pi }^4}{2}+\frac{{\pi }^2}{4}-{\pi }^3+2\ast {\pi }^4+C{\pi }^2=\frac{3}{2}\pi \\ & C=-\pi +\frac{1}{4}\\ & -C=C=\pi -\frac{1}{4}\end{array}$$ 최종적으로 이 식의 해는 다음과 같습니다. $$y(t)=-t^4\frac{\cos (2t)}{2}+t^3\frac{\sin (2t)}{2}+t^2\frac{1}{4}\cos (2t)-t^3+2t^4+(\pi -\frac{1}{4})t^2$$

t=symbols('t')
y=Function('y')(t)
eq=Eq(y.diff(t)-2*y/t, t**4*sin(2*t)-t**2+4*t**3)
dsolve(eq, y, ics={y.subs(t, pi):3*pi**4/2})

$y\left(t\right)=t^2(-\frac{t^2\cos \left(2t\right)}{2}+2t^2+\frac{t\sin \left(2t\right)}{2}-t+\frac{\cos \left(2t\right)}{4}-\frac{1}{4}+\pi )$