[sympy] Sympy객체의 표현을 위한 함수들

Sympy객체의 표현을 위한 함수들

General

• simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다.

import numpy as np
from sympy import *

x=symbols("x")
a=sin(x)**2+cos(x)**2
a

${\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)$

simplify(a)

1

simplify(b)

$\frac{x^3+x^2-x-1}{x^2+2x+1}$

simplify(b)

x - 1

c=gamma(x)/gamma(x-2)
c

$\frac{\mathrm{\Gamma }\left(x\right)}{\mathrm{\Gamma }(x-2)}$

simplify(c)

${\displaystyle (x-2)(x-1)}$

위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다.

$$\begin{array}{}\text{(식 1)}& \mathrm{\Gamma }(n)=\{\begin{array}{ll}(n-1)!& n:\text{자연수}\\ {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{-x}dx& n:\text{부동소수}\end{array}\end{array}$$

x=symbols('x')
gamma(x).subs(x,4)

$\displaystyle 6$

factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다.

import math

math.factorial(3)

6

a=gamma(x).subs(x,4.5)
a.evalf(3)

11.6

simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하는 것입니다. 그러므로 다음 식의 경우 식 전체에서 공통부분이 없으므로 더이상 정리되지 않습니다.

simplify(x**2+2*x+1)

$x^2+2x+1$

삼각함수를 단순하게 표현하기 위해 trigsimp() 함수를 적용합니다.

eq=sin(x)**2+cos(x)**2
trigsimp(eq)

1

위 예인 $x^2+2x+1$의 경우 식 내부에 공통부분이 없으므로 simplify() 함수로 정리가 되지 않습니다. 그러나 식 2와 같이 인수분해를 통해 간략화 할 수 있습니다. 인수분해는 sympy.factor(식) 함수를 적용할 수 있습니다.

$$\begin{array}{}\text{(식 2)}& x^2+2x+1\to (x+1{)}^2\end{array}$$

• factor(식)
  • 인수분해를 실행
  • 다항식을 더이상 감소될 수 없는 형태로 변환합니다.

factor(x**2+2*x+1)

${(x+1)}^2$

factor(x**3-x**2+x-1)

$(x-1)(x^2+1)$

y, z=symbols("y z")
factor(x**2*z+4*x**y*z+4*y*2*z)

$z(x^2+4x^y+8y)$

factor() 함수와 유사하지만 식을 정리하는 과정을 나타내는 함수로 factor_list() 함수를 사용할 수 있습니다.

• factor_list(): factor() 결과에서 각각의 인수를 별도로 나타냄

factor_list(x**2*z+4*x**y*z+4*y*2*z)

(1, [(z, 1), (x**2 + 4*x**y + 8*y, 1)])

factor(x**2*z+4*x**y*z+4*y*2*z)

$z(x^2+4x^y+8y)$

factor() 함수와는 다르게 인수분해된 식을 전개하기 위해 expand() 함수를 사용합니다.

• expand(식): simplify(), factor() 함수와는 반대로 식을 전개시킵니다.

expand((x+1)**2)

$x^2+2x+1$

eq=(sin(x)+cos(x))**2
expand(eq)

${\sin }^2\left(x\right)+2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)$

위의 결과와 같이 expand()함수는 식들을 모두 전개시킴으로서 일반적으로 simplify()함수 보다 식의 크기가 증가하지만 expand()와 simplify() 모두 심벌로 지정된 문자를 포함하여 연산한 결과를 전개 또는 압축하는 것으로서 동일한 결과를 반환할 수 있습니다.

expand((x+1)*(x-2)-(x-1)*x)

-2

simplify((x+1)*(x-2)-(x-1)*x)

-2

다중 변수를 사용하는 식의 경우 collect() 함수로 정리할 수 있습니다.

• collect(식, 변수=none)
  • 다항식에서 지정된 심벌과 각 항의 차수에 의해 식을 정리하여 반환
  • 지정된 변수에 의해 식을 정리, 기본값은 none

ex=x*y+x-3+2*x**2-z*x**2+x**3
ex

$x^3-x^{2}z+2x^2+xy+x-3$

col_ex=collect(ex, x)
col_ex

$x^3+x^2\cdot (2-z)+x(y+1)-3$

식의 지정한 변수에 따른 각 차수의 계수는 .coeff(변수, 차수) 메소드를 사용하여 호출할 수 있습니다.

col_ex.coeff(x, 2)

2 - z

분수들의 연산 결과를 $\frac{p}{q}$ 형태로 정리하기 위해 cancel(분수) 함수를 적용할 수 있습니다.

ex= (3*x/2 - 2)/(x - 4) + 1/x
ex

$\frac{\frac{3x}{2}-2}{x-4}+\frac{1}{x}$

cancel(ex)

$\frac{3x^2-2x-8}{2x^2-8x}$

cancel()와 factor()를 함께 사용하면 분수형태로 최종적으로 정리된 상태로 반환합니다.

factor(cancel(ex))

$\frac{(x-2)(3x+4)}{2x(x-4)}$

분수 형태를 부분분수로 나타내기 위해 apart(분수) 함수를 적용합니다. 예를들어 식 3과 같은 분수는 부분분수들의 합으로 분해 할 수 있습니다.

$$\begin{array}{}\text{(식 3)}& \frac{4x^3+21x^2+10x+12}{x^4+5x^3+5x^2+4\ast x}=\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x+4}+\frac{3}{x}\end{array}$$

ex=(4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
ex

$\frac{4x^3+21x^2+10x+12}{x^4+5x^3+5x^2+4x}$

apart(ex)

$\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{1}{x+4}+\frac{3}{x}$

파이썬에서 삼각함수의 역함수는 접두어로 a-를 첨가하여 표시하는데 sympy 역시 동일한 관례를 따릅니다. 예를 들어 cos()함수의 역함수는 acos()함수로 표현합니다.

acos(cos(x))

$\mathrm{acos}(\cos \left(x\right))$

로그함수(logarithms)는 log(윗수, 밑수=e) 함수를 사용합니다. 이 함수의 밑수의 기본값은 e로서 자연로그입니다. 자연로그의 경우 ln(식) 함수를 사용할 수 있습니다.

ln(x)

$\log \left(x\right)$

log(x, 10)

$\frac{\log \left(x\right)}{\log \left(10\right)}$

로그함수의 특성은 식 4와 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\log (xy)& =\log (x)+\log (y)\\ \log (x^n)& =n\cdot log(x)\\ \log (\frac{x}{y})=log(x)-log(y)\\ x,y& \ge 0,n\in \mathbb{R}\end{array}$$

위의 조건에 부합한다면 simplify(), expand()함수가 작동합니다. 특히 logcombind()는 simplify()와 expand_log()함수는 expand()함수와 동일한 효과를 나타냅니다. 그러나 simplify와 expand함수는 모든 로그 경우에서 올바른 작동을 하지 않은 경우가 발생하므로 위의 특화된 함수들을 사용하는 것이 유리합니다. 조건에 관계없이 강제적으로 변환을 할 경우 force=True를 함수에 전달합니다.

x,y =symbols('x, y', positive=True)

n=symbols('n', real=True)
simplify(log(x) + log(y))

og(x*y)

simplify(n*log(x))

n*log(x)

logcombine(n*log(x))

log(x**n)

expand(log(x*y))

log(x) + log(y)

expand_log(log(x*y))

log(x) + log(y)