[sympy] Sympy객체의 표현을 위한 함수들

Sympy객체의 표현을 위한 함수들

General

• simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다.

import numpy as np
from sympy import *

x=symbols("x")
a=sin(x)**2+cos(x)**2
a

$\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

simplify(a)

1

simplify(b)

$\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

simplify(b)

x - 1

c=gamma(x)/gamma(x-2)
c

$\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(x - 2\right)}$

simplify(c)

$\displaystyle \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$

위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다.

$$\tag{식 1}\Gamma(n) =\begin{cases}(n-1)!& n:\text{자연수}\\\int^\infty_0x^{n-1}e^{-x}\,dx& n:\text{부동소수}\end{cases}$$

x=symbols('x')
gamma(x).subs(x,4)

$\displaystyle 6$

factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다.

import math

math.factorial(3)

6

a=gamma(x).subs(x,4.5)
a.evalf(3)

11.6

simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하는 것입니다. 그러므로 다음 식의 경우 식 전체에서 공통부분이 없으므로 더이상 정리되지 않습니다.

simplify(x**2+2*x+1)

$x^{2} + 2 x + 1$

삼각함수를 단순하게 표현하기 위해 trigsimp() 함수를 적용합니다.

eq=sin(x)**2+cos(x)**2
trigsimp(eq)

1

위 예인 $x^{2} + 2 x + 1$의 경우 식 내부에 공통부분이 없으므로 simplify() 함수로 정리가 되지 않습니다. 그러나 식 2와 같이 인수분해를 통해 간략화 할 수 있습니다. 인수분해는 sympy.factor(식) 함수를 적용할 수 있습니다.

$$\tag{식 2} x^2+2x+1 \rightarrow (x+1)^2$$

• factor(식)
  • 인수분해를 실행
  • 다항식을 더이상 감소될 수 없는 형태로 변환합니다.

factor(x**2+2*x+1)

$\left(x + 1\right)^{2}$

factor(x**3-x**2+x-1)

$\left(x - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)$

y, z=symbols("y z")
factor(x**2*z+4*x**y*z+4*y*2*z)

$z \left(x^{2} + 4 x^{y} + 8 y\right)$

factor() 함수와 유사하지만 식을 정리하는 과정을 나타내는 함수로 factor_list() 함수를 사용할 수 있습니다.

• factor_list(): factor() 결과에서 각각의 인수를 별도로 나타냄

factor_list(x**2*z+4*x**y*z+4*y*2*z)

(1, [(z, 1), (x**2 + 4*x**y + 8*y, 1)])

factor(x**2*z+4*x**y*z+4*y*2*z)

$z \left(x^{2} + 4 x^{y} + 8 y\right)$

factor() 함수와는 다르게 인수분해된 식을 전개하기 위해 expand() 함수를 사용합니다.

• expand(식): simplify(), factor() 함수와는 반대로 식을 전개시킵니다.

expand((x+1)**2)

$x^{2} + 2 x + 1$

eq=(sin(x)+cos(x))**2
expand(eq)

$\sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$

위의 결과와 같이 expand()함수는 식들을 모두 전개시킴으로서 일반적으로 simplify()함수 보다 식의 크기가 증가하지만 expand()와 simplify() 모두 심벌로 지정된 문자를 포함하여 연산한 결과를 전개 또는 압축하는 것으로서 동일한 결과를 반환할 수 있습니다.

expand((x+1)*(x-2)-(x-1)*x)

-2

simplify((x+1)*(x-2)-(x-1)*x)

-2

다중 변수를 사용하는 식의 경우 collect() 함수로 정리할 수 있습니다.

• collect(식, 변수=none)
  • 다항식에서 지정된 심벌과 각 항의 차수에 의해 식을 정리하여 반환
  • 지정된 변수에 의해 식을 정리, 기본값은 none

ex=x*y+x-3+2*x**2-z*x**2+x**3
ex

$ x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x - 3$

col_ex=collect(ex, x)
col_ex

$x^{3} + x^{2} \cdot \left(2 - z\right) + x \left(y + 1\right) - 3$

식의 지정한 변수에 따른 각 차수의 계수는 .coeff(변수, 차수) 메소드를 사용하여 호출할 수 있습니다.

col_ex.coeff(x, 2)

2 - z

분수들의 연산 결과를 $\frac{p}{q}$ 형태로 정리하기 위해 cancel(분수) 함수를 적용할 수 있습니다.

ex= (3*x/2 - 2)/(x - 4) + 1/x
ex

$\frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}$

cancel(ex)

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8 x}$

cancel()와 factor()를 함께 사용하면 분수형태로 최종적으로 정리된 상태로 반환합니다.

factor(cancel(ex))

$\frac{\left(x - 2\right) \left(3 x + 4\right)}{2 x \left(x - 4\right)}$

분수 형태를 부분분수로 나타내기 위해 apart(분수) 함수를 적용합니다. 예를들어 식 3과 같은 분수는 부분분수들의 합으로 분해 할 수 있습니다.

$$\tag{식 3}\frac{ 4x^3 + 21x^2 + 10x + 12}{ x^4 + 5x^3 + 5x^2 + 4*x}=\frac{2x - 1}{x^2 + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}$$

ex=(4*x**3 + 21*x**2 + 10*x + 12)/(x**4 + 5*x**3 + 5*x**2 + 4*x)
ex

$\frac{4 x^{3} + 21 x^{2} + 10 x + 12}{x^{4} + 5 x^{3} + 5 x^{2} + 4 x}$

apart(ex)

$\frac{2 x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x}$

파이썬에서 삼각함수의 역함수는 접두어로 a-를 첨가하여 표시하는데 sympy 역시 동일한 관례를 따릅니다. 예를 들어 cos()함수의 역함수는 acos()함수로 표현합니다.

acos(cos(x))

$\operatorname{acos}{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$

로그함수(logarithms)는 log(윗수, 밑수=e) 함수를 사용합니다. 이 함수의 밑수의 기본값은 e로서 자연로그입니다. 자연로그의 경우 ln(식) 함수를 사용할 수 있습니다.

ln(x)

$\log{\left(x \right)}$

log(x, 10)

$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(10 \right)}}$

로그함수의 특성은 식 4와 같습니다.

\begin{align} \log(xy)&=\log(x) + \log(y)\\\log(x^n)&=n\cdot log(x)\\\log(\frac{x}{y})= log(x) - log(y)\\x, y &\geq 0, \; n \in \mathbb{R}\end{align}

위의 조건에 부합한다면 simplify(), expand()함수가 작동합니다. 특히 logcombind()는 simplify()와 expand_log()함수는 expand()함수와 동일한 효과를 나타냅니다. 그러나 simplify와 expand함수는 모든 로그 경우에서 올바른 작동을 하지 않은 경우가 발생하므로 위의 특화된 함수들을 사용하는 것이 유리합니다. 조건에 관계없이 강제적으로 변환을 할 경우 force=True를 함수에 전달합니다.

x,y =symbols('x, y', positive=True)

n=symbols('n', real=True)
simplify(log(x) + log(y))

og(x*y)

simplify(n*log(x))

n*log(x)

logcombine(n*log(x))

log(x**n)

expand(log(x*y))

log(x) + log(y)

expand_log(log(x*y))

log(x) + log(y)