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모멘트생성함수(Moment generating function) 모멘트(moment)는 물리적으로 물체의 운동량 즉, 물체가 자체적으로 가지고 있는 기본량을 나타냅니다. 이와 유사하게 통계적으로 모멘트는 데이터 자체가 가지는 특성을 나타내며 이 모멘트를 생성할 수 있는 함수의 기대값을 모멘트 생성함수(MGF) 라고 합니다. 확률분포의 특성을 나타내는 통계량들은 식 1과 같이 정의되는 모멘트를 사용하여 계산할 수 있습니다. [모멘트 생성함수(MGF)] 확률변수 X에 대해 원점을 중심으로 하는 n번째 모멘트는 E[X n ], 평균값을 중심으로하는 중심모멘트(central moment) 의 n차는 E((X − E(X)) n )으로 정의합니다. 1차 모멘트는 기대값 E[X]이며 2차 중심 모멘트는 X의 분산 E[(x − µ) 2 ]입니다. 랜덤변수 X에서 h > 0인 (-h, h)에 속하는 모든 t에 대한 기대값이 존재하면 모멘트생성함수(MGF)는 식 2.5.7과 같이 정의합니다. \begin{align}M_x(t)&=E\left(e^{tx}\right)\\&=\begin{cases}\sum_{x \in \mathbb{R}} e^{tx}f(x)& x: \text{이산변수}\\ &=\int^\infty_{-\infty}e^{tx}f(x)& x: \text{연속변수} \end{cases} \end{align} (식 1) 예 1) 이산 확률변수 X의 PMF가 다음과 같을 경우 모멘트 생성함수(MGF)를 계산합니다. $$P_x(t) =E\left(e^{tx}\right)=\begin{cases} \frac{1}{3}& t=1\\ \frac{2}{3} & t=2 \end{cases}$$ \begin{align}M_x(t)&= E\left(e^{tx}\right) \\&= \sum_{x \in X}e^{tx}f(x)\\& = \frac{1}{3}e^x + \frac{...