sons dataStory

고유벡터(Eigenvector)와 고유값(Eigenvalue) 연습 관련된 내용 고유벡터(Eigenvector)와 고유값(Eigenvalue) 예 1) 행렬 A의 특성 방정식과 고유값을 계산해봅니다. $$ \left[\begin{matrix}1 & 3 & -1.5\\9 & - \frac{27}{2} & 4.5\\7 & - \frac{39}{2} & \frac{15}{2}\end{matrix}\right]$$ 행렬 A의 고유값 r을 가정하여 표현한 특성방정식(det(A − λI))은 다음과 같습니다. 다음 코드의 sympy.rational() 함수를 분수를 표시하기 위해 적용한 것입니다. r=symbols('r', real=True) A=Matrix([[1, 3, -1.5],[9, -Rational("27/2"), 4.5],[7, -Rational("39/2"), Rational("15/2")]]) cheqM=A-r*eye(3) cheqM $\left[\begin{matrix}1 - r & 3 & -1.5\\9 & - r - \frac{27}{2} & 4.5\\7 & - \frac{39}{2} & \frac{15}{2} - r\end{matrix}\right]$ cheq=det(cheqM)#특성방정식 expand(cheq) -r 3 - 5r 2 +36.0r sol=solve(cheq, r) [sp.N(i, 3) for i in sol] [-9.00, 0, 4.00] numpy.linalg.eigvals() 함수를 사용하여 고유값을 확인해 봅니다. eigVal=la.eigvals(np.array(A, dtype=float)) print(np.around(eigVal, 3)) [-9. 4. -0.] 예 2) 행렬 A에 대해 벡터 v가 고유 벡터인지를 결...

고유벡터(Eigenvector)와 고유값(Eigenvalue) 고유 벡터(eigenvector) 는 정방 행렬의 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는 영벡터(zero vector)가 아닌 벡터들을 의미합니다. 즉, n차원 공간에서 임의의 벡터를 표현할 수 있는 기준이 되는 벡터인 기저(basis) 벡터 를 의미합니다. 그러므로 행렬 A의 고유벡터 v 사이에는 식 1의 관계가 성립합니다. Av = λv (식 1) (A − λ)v = 0 조건) λ ≠ 0 식 1에서 A는 가역행렬이고 λ는 스칼라로서 고유값(eigenvalue) 이라고 합니다. 예 1) 행렬 A와 두 벡터 u, v의 관계를 조사해 봅니다. $$A=\begin{bmatrix}3&-2\\1&0\end{bmatrix}, \quad u=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}, \quad v=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$$ 행렬 A와 미지의 벡터 x와 선형결합한 결과 벡터가 각각 u, v일 경우 선형독립인지를 결정합니다. 선형독립일 경우 A는 기저행렬이 됩니다. A=np.array([[3,-2],[1,0]]) u=np.array([-1,1]) v=np.array([2,1]) Au=np.c_[A, u] print(Au) [[ 3 -2 -1] [ 1 0 1]] Matrix(Au).rref() (Matrix([ [1, 0, 1], [0, 1, 2]]), (0, 1)) Av=np.c_[A, v] print(Av) [[ 3 -2 2] [ 1 0 1]] Matrix(Av).rref() (Matrix([ [1, 0, 1], [0, 1, 1/2]]), (0, 1)) 행렬 A와 벡터 u, v를 결합한 확대행렬 Au, Av의 기약행 사다리꼴 형태 (rref) 을 검사한 결과는 A의 모든 열이 피봇열이므로 행렬 A의 급수(Rank) 가 2임을 나타냅니다. 이 행렬의 급수는 numpy....