sons dataStory

기저(Basis) 벡터 부분공간이 되는 벡터들은 스판인 벡터들의 확대 또는 축소의 결과입니다. 즉, 스판인 벡터들은 그 벡터 공간을 형성하는 기본이 되는 벡터(들)입니다. 이러한 벡터들을 기저(Basis) 또는 기저벡터라고 합니다. 기저벡터들의 선형결합은 선형독립입니다. 즉, 기저 벡터들은 다음 조건을 만족해야 합니다. 기저 벡터(Basis vector) 벡터 W가 벡터 공간 B(b 1 , b 2 , … , b p )의 부분공간인 경우 B가 W의 기저(basis)가 되는 것은 다음과 동치입니다. ⇔ 다음의 W와 B의 선형결합은 독립입니다. $$\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{np}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{bmatrix}$$ 벡터 공간에서 기저는 선형 독립인 벡터들입니다. ⇔ W = Span{b 1 , b 2 , … , b p } 즉, W는 집합 B로 구성된 벡터공간의 부분 공간이며 그 벡터들의 선형결합의 결과입니다. 기약행사다리꼴 형태에서 피벗 열(pivot column) 에 해당하는 벡터와 같습니다. 결과적으로 벡터 B 집합은 W(부분공간)의 스판이 되며 B의 선형 결합에 의한 결과 벡터가 W가 된다는 것을 의미합니다. 또한 B와 W의 선형결합은 독립이어야 하므로 자명한 해(유일해) 를 가져야 합니다. 표준기저(Standard basis) 항등행렬을 표준행렬로 가진 선형결합의 경우 선형독립입니다. 그러므로 항등행렬을 구성하는 각 열벡터들은 기저벡터의 가장 기본형으로 표준기저라고 합니다. import numpy as np import numpy.linalg as la ...

기약행 사다리꼴 형태 (Reduced row echelon form, rref) 관련된 내용 역행렬(Inverse matrix) 행렬식(Determinant) 행사다리 꼴(row echelon form, ref) 은 식 1과 같이 상삼각행렬 형태를 보입니다. 각 행에서 0이외의 첫번 째 요소가 1인 경우를 기약행사다리꼴(reduced row echelon form, rref) 이라고 합니다. $$\begin{bmatrix}0& a& b & c & \cdots\\0& 0& d & e & \cdots\\0& 0& 0 & f & \cdots\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots\end{bmatrix}$$ (식 1) 식 2는 연립방정식을 행렬 방정식으로 나타낸 것입니다. $$\begin{aligned}x+y& =2\\ 2x+4y &=-3\\ 3x+6y & =5 \end{aligned}\Rightarrow \begin{bmatrix} 1& 1\\2& 4\\3& 6\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\ -3\\5\end{bmatrix}$$ (식 2) 식 2에서는 나타낸 것과 같이 표준행렬은 정방행렬이 아니므로 역행렬에 의한 해를 결정할 수 없습니다. 이 경우 식 3에서 나타낸 것과 같이 표준행렬과 상수행렬을 결합한 형태에서 각 행간의 연산에 의해 표준행렬을 항등행렬의 형태로 전환할 수 있다면 해를 결정 할 수 있습니다. \begin{align}\begin{bmatrix} 1& 1& :2 \\2& 4& :-3\\3& 6 & :5\end{bmatrix} &\Rightarrow \begin{bmatrix} ...