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정규직교(Orthonormal) 서로 직교하는 단위 벡터들을 정규 직교(orthonormal) 라고 하며 기저 벡터가 됩니다. 정규직교 집합 {u 1 , u 2 , …, u p }은 직교 벡터들의 선형결합으로 생성된 부분공간(W)의 스판 이 됩니다. 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다. $$\tag{식 1} W=\text{span}\{u_1,\, u_2,\, \cdots,\, u_p\}$$ 이 벡터들의 선형 결합은 선형 독립이므로 자명한(trivial) 해를 가집니다. 결과적으로 정규직교 집합은 W의 정규직교 기저(orthonormal basis)가 됩니다. 정규직교 집합은 정규직교기저가 됩니다. 예 1) 다음 세 벡터들은 ℝ 3 의 정규직교 기저인지를 결정합니다. $$v_1=\begin{bmatrix}\frac{3}{\sqrt{11}}\\\frac{1}{\sqrt{11}}\\\frac{1}{\sqrt{11}} \end{bmatrix} \quad v_2=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{6}}\\\frac{2}{\sqrt{6}}\\\frac{1}{\sqrt{6}} \end{bmatrix} \quad v_3=\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{66}}\\ -\frac{4}{\sqrt{66}}\\-\frac{7}{\sqrt{66}}\end{bmatrix}$$ v1=np.array([3/11**0.5, 1/11**0.5, 1/11**0.5]).reshape(3,1) v2=np.array([-1/6**0.5, 2/6**0.5, 1/6**0.5]).reshape(3,1) v3=np.array([-1/66**0.5, -4/66**0.5, 7/66**0.5]).reshape(3,1) for i, j in enumerate([v1, v2, v3 ]): print(F" v{i+1}의 norm: {np.around(la.norm(j),1)}") v1의 norm: 1.0 v2의 nor...

부분공간의 차원 관련된 내용 벡터 공간과 부분공간 (vector space & subspace) 예 1) H가 4차원의 좌표(a, b, c, d)에서 다음 식들을 만족하는 모든 벡터들의 집합이라고 한다면 H가 4차원의 부분 공간인지를 확인합니다. \begin{align} a - 2b + 5c - d& = 0\\-a - b + c& = 0\end{align} 위 식은 식 1과 같이 행렬시스템으로 나타낼 수 있습니다. $$\begin{bmatrix} 1&-2&5&1\\-1&-1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}$$ (식 1) A=np.array([[1,-2,5,-1],[-1, -1, 1, 0]]) c=np.zeros([2,1]) aug=np.hstack([A, c]) print(aug) [[ 1. -2. 5. -1. 0.] [-1. -1. 1. 0. 0.]] print(np.array(Matrix(aug).rref()[0], dtype=float).round(3)) [[ 1. 0. 1. -0.333 0. ] [ 0. 1. -2. 0.333 0. ]] 선형결합은 2개의 자유 변수 c, d를 포함하므로 자명하지 않은(non trivial) 해를 갖습니다. 즉, 선형 종속으로 선형 결합이 성립하므로 벡터 [[a], [b], [c], [d]]는 4차원의 부분 공간으로 간주할 수 있습니다. 그러나 변수 a, b는 c와 d에 의존적입니다. 이 경우 그 벡터의 차원을 차원을 4차원으로 고정할 수 있을까요? 표준 행렬 A의 각 열벡터 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 라고 하면 위 rref의 결과로 A 1 , A 2 가 기저벡터로 나머지 벡터들인 A 3 , A 4...

선형결합(Linear combination) 선형결합(Linear Combination) v 1 , v 2 , …, v n 으로 이루어진 벡터 집합 V 와 c 1 , c 2 , …, c n 로 구성된 스칼라 집합 C 를 고려해봅니다. 식 1은 V 와 C 사이의 " 가중치 × 벡터 "의 관계를 나타낸 것입니다. 다시말하면 이 식은 벡터와 스칼라의 두 집합사이에 선형 결합(linear combination) 관계를 의미하는 것입니다. \begin{align}\tag{1} y &= c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n\\ &= \begin{bmatrix} v_1& v_2&\cdots& v_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}\\ &= VC \end{align} (식 1) 식 1에서 V 는 선형결합의 계수벡터들로 구성된 표준행렬(standard matrix) , C 는 스칼라로 구성된 변수벡터를 나타냅니다. 예를 들어 식 2는 2개의 변수와 각 변수의 계수 그리고 그들의 선형 결합의 결과인 상수로 구성된 3개의 식을 나타낸 것입니다. \begin{align}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}y\\& = \begin{bmatrix} a_1& b_1\\a_2 & b_2\\ a_3 & b_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}\\ \Rightarrow\;&\begin{aligned} c_1&=a_1x + b_1y \\ c_2&=a_2x + b_2y \\c_3&=...