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선형변환(Linear transformation) T: U → V은 벡터 공간의 U를 다른 벡터 공간 V로 옮기는 변환(함수)를 나타냅니다. 이 변환이 선형변환(Linear transformation)이 되기 위해서는 선형결합의 성립을 위한 식 1의 조건을 만족해야 합니다. 즉, 선형결합이 성립되는 벡터들은 선형변환이 가능하다는 것을 의미합니다. \begin{align} &\forall \; \text{u}_1,\; \text{u}_2 \in \text{U} \rightarrow T(\text{u}_1 + \text{u}_2) = T(\text{u}_1)+T(\text{u}_2)\\ &\forall \; \text{u} \in \text{U} \cap α \in \text{C} \rightarrow T(\alpha \text{u}) = \alpha T(\text{u})\\&u,\, v:\; \text{벡터, 스칼라} \end{align} (식 1) 예 1) 다음 식이 선형변환인지를 결정합니다. $$T\left(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix}2x_1+x_3\\-4x_2\end{bmatrix} $$ 위 변환은 식 2와 같이 표준행렬 A에 의한 선형결합으로 나타낼 있습니다. \begin{align}\begin{bmatrix}2x_1+x_3\\-4x_2\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}2& 0& 1\\0& -4& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}\\\Leftrightarrow &\; T=Ax \end{align} (식 2) 식 2의 성립여부는 동차시스템으로 전환한 상태에서 해의 존재를 결정하는 것으로 확인할 수 있습니다. A=np.array([[2,0,1],[0,-4,0]]) c=np.ze...

핵과 치역(Kernel and Range) 변환은 어떤 수 x를 식에 대입하여 그 값에 대응하는 결과인 y를 반환하는 함수를 의미합니다. 다시 말하면 어떤 값들에 함수를 적용하여 변환된 결과가 생성되는 과정을 변환(transforamtion) 이라 합니다. 이 과정에서 함수를 기준으로 입력된 데이터의 범위를 정의역(domain) 이라하며 이에 대응하는 가능한 모든 결과물들의 범위를 공역(codomain) 이라고 합니다. 예로서 python에서 함수 int() 는 실수를 정수로 만들기 위해 사용합니다. 이 경우 정의역은 실수이지만 공역(codomain)은 정수가 될것입니다. x=3.24 y=int(x) y 3 공역 중 함수의 결과를 상(image) 이라 하며 이 상들의 집합을 치역(range) 이라고 합니다. 치역(range)은 공역의 부분집합이 됩니다. 식 1의 선형결합은 표준행렬에 의해 변수벡터의 변환된 결과를 나타내는 것으로 위에서 소개한 변환과정으로 나타낼 수 있습니다. 즉, 변수벡터와 결과는 각각 정의역과 치역이 되며 이들의 매개가 되는 표준행렬은 함수로 간주할 수 있습니다. \begin{align}\begin{bmatrix}-2& -1\\0& 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}-7\\-4\end{bmatrix}\\ F(\text{정의역})&=\text{상}\end{align} (식 1) 식 1의 표준행렬을 함수 F()로 표시하였습니다. 일반적으로 위와 같은 결합에서 함수는 Transform의 접두어를 적용하여 T()로 나타냅니다. 그림 1은 정의역, 공역, 그리고 치역을 나타낸 것입니다. 그림 1. 정의역(domain), 공역(codomain), 그리고 치역(range). 함수에 의한 정의역과 공역의 대응은 그림 2와 같이 정의할 수 있습니다. 그림 2. 정의역과 공역의 대응방식. 변환의 ...

확률과 주요통계량 내용 모멘트(Moment) 기대값(Expected Value) 기대값의 선형결합 확률과 주요통계량: 모멘트와 기대값 예제 모멘트(Moment) 확률변수와 확률 분포의 특징과 형태를 수학적으로 설명하기 위한 정량적 지표를 모멘트(moment) 라고 하며 식 1과 같이 정의합니다. $$\begin{align}\tag{식 1}&\text{n 차 모멘트}= E(x^n)\\ &n= 1, 2, \cdots \end{align}$$ 식 1에서 E(x)는 확률변수 x에 대한 기대값(평균)을 나타냅니다. 그러므로 모멘트(moment) 는 변형된 확률변수의 기대값을 의미합니다. 이러한 모멘트는 기술 통계에서 소개한 평균 , 분산 과 함께 왜도, 첨도 등 다양한 통계량의 유도에 사용됩니다. 기대값(Expected Value) 평균은 변수들의 특성을 파악하기 위해 가장 많이 사용되는 통계량입니다. 이 통계량은 각 변수값에 대한 확률을 고려하는 것으로 기대값(expected value, E(X)) 이라고 합니다. 확률변수 x에 대응되는 확률은 다른 변수들에 비해 그 변수가 나타날 상대 가능도(relative likelihood) 를 의미합니다. 많은 경우 확률변수와 확률의 관계는 함수로 특정할 수 있으며 그 함수를 확률함수라고 합니다. 확률함수는 변수가 이산형일경우에는 확률질량함수(probability mass function) , 연속형일 경우에는 확률밀도함수(probability density function) 로 구분합니다. 일반적으로 확률밀도(질량)함수는 f(x)로 나타내며 그 함수의 합(적분)인 누적확률함수는 F(x)로 표현합니다. 이 확률밀도(질량) 함수를 사용하여 1차모멘트인 평균은 식 2와 같이 계산할 수 있습니다. $$\tag{식 2}\mu=E(X)=\begin{cases}\sum^N_{i=0} x_iP(X=x_i)&x:\text{이산변수},\; N:\text{샘플 크기...