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증가 확률함수의 역함수 랜덤 변수 X에 대한 함수 g(x)가 증가함수이면 함수 g(x)의 역함수 $g^{-1}(y)$는 식 1과 같이 정의할 수 있습니다. $$ \forall \; x_1,\, x_2 \in \mathbb{R}_x, \quad x_1\gt x_2 \Rightarrow g(x_1) \gt g(x_2)$$ $$\tag{식 1} X=g^{-1}(Y)$$ 위 식에서 $g^{-1}(y)$ 역시 증가함수입니다. 랜덤변수의 증가함수에 대한 분포함수는 식 2와 같이 정의됩니다. $$R_y =\{y=g(x):\; x \in R_X\}$$ $$\tag{식 2} F_Y(y) =\begin{cases} 0 & \text{if}\;y\lt x,\; \forall x\in R_Y\\ F_X(g^{-1}(y))& \text{if}\; y\in R_Y\\ 1 & \text{if}\; y\gt x,\; \forall x\in R_Y\end{cases}$$ $R_Y$는 g(x)에 의해 결정됩니다. y가 Y가 취할 수 있는 가장 낮은 값보다 작으면 P(Y≤ y)=0 됩니다. $F_Y(y) =0 \;\text{if}\; y\lt x,\, \forall\, x\in R_Y$ y ∈ Y 이면 F_Y(y)는 다음과 같이 유도됩니다. $\begin{align} F_Y(Y)&= P(Y\le y)\\ &=P(g(X)\le y)\\&=P(g^{-1}(g(X))\le g^{-1}(y)) \; g^{-1}\; \text{존재하고}\; R_y \; \text{역시 증가합니다. }\\ &=P(X \le g^{-1}(y)) \\ & = F_X(g^{-1}(y))\end{align}$ y가 Y가 취할 수 있는 가장 높은 값보다 크면 P(Y≥ y)=1 됩니다. $F_Y(y) =1 \;\text{if}\; y\gt x,\, \forall\, x\in R_Y$ X가 랜덤 연속변수 일 경우 ...