[data analysis] 증가 확률함수의 역함수

증가 확률함수의 역함수

랜덤 변수 X에 대한 함수 g(x)가 증가함수이면 함수 g(x)의 역함수 $g^{-1}(y)$는 식 1과 같이 정의할 수 있습니다.

$$ \forall \; x_1,\, x_2 \in \mathbb{R}_x, \quad x_1\gt x_2 \Rightarrow g(x_1) \gt g(x_2)$$

$$\tag{식 1} X=g^{-1}(Y)$$

위 식에서 $g^{-1}(y)$ 역시 증가함수입니다. 랜덤변수의 증가함수에 대한 분포함수는 식 2와 같이 정의됩니다.

$$R_y =\{y=g(x):\; x \in R_X\}$$

$$\tag{식 2} F_Y(y) =\begin{cases} 0 & \text{if}\;y\lt x,\; \forall x\in R_Y\\ F_X(g^{-1}(y))& \text{if}\; y\in R_Y\\ 1 & \text{if}\; y\gt x,\; \forall x\in R_Y\end{cases}$$

$R_Y$는 g(x)에 의해 결정됩니다.

• y가 Y가 취할 수 있는 가장 낮은 값보다 작으면 P(Y≤ y)=0 됩니다.
  • $F_Y(y) =0 \;\text{if}\; y\lt x,\, \forall\, x\in R_Y$
• y ∈ Y 이면 F_Y(y)는 다음과 같이 유도됩니다.
  • $\begin{align} F_Y(Y)&= P(Y\le y)\\ &=P(g(X)\le y)\\&=P(g^{-1}(g(X))\le g^{-1}(y)) \; g^{-1}\; \text{존재하고}\; R_y \; \text{역시 증가합니다. }\\ &=P(X \le g^{-1}(y)) \\ & = F_X(g^{-1}(y))\end{align}$
• y가 Y가 취할 수 있는 가장 높은 값보다 크면 P(Y≥ y)=1 됩니다.
  • $F_Y(y) =1 \;\text{if}\; y\gt x,\, \forall\, x\in R_Y$

X가 랜덤 연속변수일 경우 밀도함수의 역함수는 식 3과 같이 y에 대한 x의 순간변화율(미분)을 곱해 줍니다.

$$R_Y=\{y=g(x):\; x \in R_X\}$$

$$\tag{식 3}f_Y(y)=\begin{cases}f_X(g^{-1}(y)) \frac{dg^{-1}(y)}{dy} & y \in R_Y\\ 0& y \notin R_Y\end{cases}$$

이 기사는 Strictly increasing functions을 정리 한 것입니다.