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예 1) 다음의 확률밀도함수(pdf)를 갖는 확률연속변수의 기대값은? $$f(x)=\begin{cases}c(x^3+x^2+1)& 0\lt x \lt 10\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$ 위 함수에서 범위 (0, 10)에서의 적분값은 1이 되어야 합니다. 이 조건을 적용하여 상수 c가 계산될 수 있습니다. 적분 계산은 파이썬 라이브러리 sympy.integrate() 함수를 적용합니다. 또한 그 적분의 결과에서 표현되는 미지수 c는 sympy.solve() 함수를 사용하여 결정할 수 있습니다. c, x=symbols("c, x") f=c*(x**3+x**2+1) F=f.integrate((x, 0, 10)) print(F) 8530*c/3 C=solve(Eq(F, 1), c);C [3/8530] 위 결과를 c로 치환한 새로운 함수를 사용하여 기대값을 계산합니다. f=f.subs(c, C[0]) print(f) 3*x**3/8530 + 3*x**2/8530 + 3/8530 위 결과인 확률함수에 대한 기대값의 계산은 식 1과 같습니다. $$\tag{식 1}E(x) = \int^{10}_0 x\left(\frac{3}{8530}x^3+\frac{3}{8530}x+\frac{3}{8530} \right)$$ E=integrate(x*f, (x, 0, 10)) print(E) 6765/853 round(float(E), 3) 7.931 확률변수가 변수 x에 대한 함수 g(x)를 정의 할 수 있는 경우 기대값은 식 2와 같이 그 함수에 대한 확률 함수 f(x)와의 곱으로 계산할 수 있습니다. $$\tag{식 2}E(g(x))=\begin{cases}\sum_{x\in S}g(x)f(x)& x:\text{이산변수},\; S: \text{표본공간}\\ \int^\infty_{-\infty}g(x)f(x)\, dx& x:\text{연속변수}\end{cases}$...

연속확률분포 내용 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF) 일정구간 [a, b]에서 무작위로 하나의 수를 선택하는 확률이 동일하다면 그 수는 랜덤변수(random variable) 가 됩니다. 그 구간의 수들은 무한하므로 하나의 점을 특정할 수 없습니다. 즉, 연속변수에서 특정한 점에서의 확률은 정의할 수 없습니다. 대신에 전체를 일정구간으로 소그룹화하면 하나의 그룹을 선택할 확률은 전체 구간의 길이에 대해 그 선택된 부분의 길이로 정의할 수 있습니다. 이 관계는 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다. \begin{align}P(X ∈ [a, b])&=1\\P(\in [x_1,\,x_2])&=\frac{x_2-x_1}{b-a}\\a\le x_1&\le x_2 \le b \end{align} (식 1) 식 1을 기반으로 확률변수 X에 대한 누적분포함수(CDF)는 식 2와 같이 나타낼 수 있습니다. $$F(X)=\begin{cases}0&\text{for}\; x \le a\\\frac{x-a}{b-a}&\text{for}\; a \le x \le b\\1&\text{for}\; x \ge b \end{cases}$$ (식 2) 사실 연속변수의 경우 한 지점에서의 확률은 정의할 수 없으므로 기호 "≤" 와 "<"의 차이 역시 정의 할 수 없습니다. [연속확률함수의 조건] 식 3의 관계가 성립하기 위해서는 함수 f(x)가 모든 x에서 대응하는 값을 정의할 수 있는 연속함수(continuous function)이어야 합니다. F(x) = P(X ≤ x) (식 3) 다시말하면 누적분포함수인 F(x)는 모든 범위에서 미분가능한 함수이어야 합니다. 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF) 이산확률함수에 각 경우의 확률은 확률질량함수(PMF)와 누적분포함수(CDF)...

내용 expression 미분 2차 미분 mosaic를 사용한 미분 적분 미분과 적분 R에서의 미분과 적분 함수는 expression()함수에 의해 생성된 표현식을 대상으로 합니다. expression expression(문자, 또는 식) 이 표현식의 평가는 eval() 함수에 의해 실행됩니다. > ex1 ex1 expression(1 + 0:9) > eval(ex1) [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 > ex2 ex2 expression(u, 2, u + 0:9) > ex2[1] expression(u) > ex2[2] expression(2) > ex2[3] expression(u + 0:9) > u eval(ex2[3]) [1] 0.9 1.9 2.9 3.9 4.9 5.9 6.9 7.9 8.9 9.9 미분 D(표현식, 미분 변수) 함수로 미분을 실행합니다. 이 함수의 표현식은 expression() 함수로 생성된 객체이며 미분 변수는 다음 식의 분모의 변수를 의미합니다. $$\frac{d}{d \text{변수}}\text{표현식}$$ 이 함수는 어떤 함수의 미분의 결과를 표현식으로 반환합니다. > D(expression(2*x^3), "x") 2 * (3 * x^2) > eq eq expression(log(x)) > D(eq, "x") 1/x > eq2 D(eq2, "x") a * (b * (exp(-d * x) * d))/(1 + b * exp(-d * x))^2 > a eval(D(eq2, 'x')) [1] 0.2470693 실제 값의 계산을 위해서는 deriv() 함수를 이용한다. deriv(expression, 변수, function.arg=NULL) expression식이 아닌 직접식으로 나타낼 경우 tilt...