예 1)
다음의 확률밀도함수(pdf)를 갖는 확률연속변수의 기대값은?
$$f(x)=\begin{cases}c(x^3+x^2+1)& 0\lt x \lt 10\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$$위 함수에서 범위 (0, 10)에서의 적분값은 1이 되어야 합니다. 이 조건을 적용하여 상수 c가 계산될 수 있습니다.
적분 계산은 파이썬 라이브러리 sympy.integrate() 함수를 적용합니다. 또한 그 적분의 결과에서 표현되는 미지수 c는 sympy.solve() 함수를 사용하여 결정할 수 있습니다.
c, x=symbols("c, x")
f=c*(x**3+x**2+1)
F=f.integrate((x, 0, 10))
print(F)
8530*c/3
C=solve(Eq(F, 1), c);C
[3/8530]
위 결과를 c로 치환한 새로운 함수를 사용하여 기대값을 계산합니다.
f=f.subs(c, C[0]) print(f)
3*x**3/8530 + 3*x**2/8530 + 3/8530
위 결과인 확률함수에 대한 기대값의 계산은 식 1과 같습니다.
$$\tag{식 1}E(x) = \int^{10}_0 x\left(\frac{3}{8530}x^3+\frac{3}{8530}x+\frac{3}{8530} \right)$$E=integrate(x*f, (x, 0, 10)) print(E)
6765/853
round(float(E), 3)
7.931
확률변수가 변수 x에 대한 함수 g(x)를 정의 할 수 있는 경우 기대값은 식 2와 같이 그 함수에 대한 확률 함수 f(x)와의 곱으로 계산할 수 있습니다.
$$\tag{식 2}E(g(x))=\begin{cases}\sum_{x\in S}g(x)f(x)& x:\text{이산변수},\; S: \text{표본공간}\\ \int^\infty_{-\infty}g(x)f(x)\, dx& x:\text{연속변수}\end{cases}$$예 2)
주사위를 4번 던지는 경우 홀수가 나오는 횟수를 X하면 E(x) ?
이번 실험에서는 주사위가 홀수(1, 3, 5)이면 1로 설정하고, 주사위 숫자가 짝수(2, 4, 6)이면 0으로 설정합니다. 확률변수 x는 홀수가 나오는 횟수이므로 표본공간 S는 다음과 같습니다.
S = {0, 1, 2, 3, 4}
주사위를 한 번 던져 홀수와 짝수가 나오는 확률은 각각 0.5이며 각각의 시행은 독립입니다. 이 시행의 표본공간은 itertools.combinations_with_replacement(확률변수, 시행횟수) 함수로 나타낼 수 있습니다.
- itertools.combiations(x, r)
- iterable 객체 x(확률변수)에 대해 지정한 수(r)만큼 선택한 조합의 모든 경우를 반환
- iterable는 리스트, 튜플 형과 같이 각 요소의 순서에 맞게 호출할 수 있는 객체입니다.
- x의 길이 = n → 0 ≤ r ≤ n
- r > n 일 경우 itertools.combinations_with_replacement(x, r)을 사용
S=list(itertools.combinations_with_replacement([0,1], 4));S
[(0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1)]
위 결과 각각의 확률함수(pmf)는 조합과 각각의 확률을 곱하는 것으로 결정할 수 있습니다. 예를 들어 홀수의 선택이 0개일 경우의 경우의 수는 5개 중에 0개를 선택하는 조합의 수로 5C0이 됩니다. 이 경우의 수에서 홀수가 선택될 확률 $\left(\frac{1}{2}\right)^0$과 짝수가 선택될 확률 $\left(\frac{1}{2}\right)^5$이 곱으로 계산됩니다. 확률함수 f(x)는 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다. 기대값은 각 확률변수에 대응하는 pmf와 곱들의 합으로 결정됩니다.
$$\begin{align}\tag{식 3} f(x)&={}_n\mathrm{C}_s \left(\frac{1}{2}\right)^s \left(\frac{1}{2}\right)^{n-s} \\ E(x)&=\sum xf(x)\end{align}$$이 시행은 조합 계산을 위한 함수인 scipy.special.comb(n, k)를 사용하여 계산할
수 있습니다. 예를 들어 4번시행에서 홀수의 출현이 0인 경우는 다음과 같이 계산됩니다.
scipy.special.comb(4, 0)*(1/2)**0*(1/2)**4
0.0625
기대값은 위 함수를 사용하여 표본공간 S의 각 사건에 대한 확률함수를 계산하는 것으로 결정합니다.
S=np.array([0,1,2,3, 4]) p=np.array([scipy.special.comb(4, i)*(1/2)**i*(1/2)**(4-i) for i in S]) print(p)
[0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625]
E=np.sum(S*p); E
2.0
각 사건의 확률함수인 p를 시각화하면 그림 1와 같습니다.
plt.figure(figsize=(4,3))
plt.bar([0, 1, 2, 3, 4], p)
plt.xlabel("# of odd")
plt.ylabel("prob")
plt.show()
이 예제는 성공과 실패에 2가지 확률을 다룹니다. 이러한 시행에 대한 확률의 분포는 이항분포를 구성하며 이 분포의 확률함수의 전형적인 형태는 그림 1과 같습니다. 이항분포에서 각 확률변수에 대한 확률은 scipy.stats.binom.pmf(성공횟수, 총시행횟수, 시행당 확률) 함수를 사용하여 계산할 수 있으며 이 결과를 기반으로 기대값을 결정할 수 있습니다.
scipy.stats 모듈은 다양한 분포에 대해 확률함수, 기대값 등의 여러 통계량을 반환하는 함수들을 제공합니다.
p1=scipy.stats.binom.pmf(S, 4, 1/2); print(p1)
[0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625]
E1=np.sum(S*p1); E1
2.0
또한 다음 코드와 같이 기대값을 직접적으로 확인할 수 있습니다.
scipy.stats.binom.stats(4, 1/2, moments='m')
2.0
예 3)
예제 2에서 확률변수를 X 대신 X2을 사용한다면 E(X2)?
S=np.array([0,1,2,3, 4]) E2=np.sum(SN**2*p1); E2
5.0
예 4)
다음은 연속확률변수의 PDF를 정의한 것입니다.
$$f(x)=\begin{cases}1& 0\lt x \lt 1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$
연속확률변수 X를 기반으로 새로운 확률변수 Y = g(x) = ex의 기대값과 ex3의 기대값을 결정합니다.
기대값은 확률변수와 확률함수의 곱의 합으로 식 4와 같이 계산할 수 있습니다.
$$\begin{align}\tag{식 4} E(e^x)&=1\int^1_0 e^xf(x)\, dx\\&=\int^1_0 e^x\, dx\\&=e-1\\ E(e^{x^3})&=1\int^1_0 e^{x^3}f(x)\, dx\\&=\int^1_0 e^{x^3}\, dx\end{align}$$식 4에서 두번째 함수 ex3의 적분은 이 함수의 무한급수를 적용하여 실행할 수 있지만 간단하지 않습니다. 대신에 sympy의 integrate() 함수를 적용할 수 있으며 그 결과는 기호나 수로 구성된 식이 될 수 있습니다. 이러한 결과는 N()를 사용하여 수로 변환할 수 있습니다.
sympy 패키지는 수학의 다양한 식들의 계산을 위한 함수들을 제공합니다.
from sympy import *
x=symbols('x')
g1=exp(x)
E1=integrate(g1, (x, 0, 1));N(E1, 3)
1.72
g2=exp(x**3) G=integrate(g2,(x, 0, 1)) simplify(G)
$- \frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \gamma\left(\frac{1}{3}, e^{i \pi}\right)}{3} $
N(G, 3)
1.34
예 5)
통계학 강의에 두 개의 책이 사용된다고 합니다. 두 책의 구입여부는 독립적이라고 가정합니다. 다시말하면, 주교재의 구입여부가 부교재의 구입여부에 영향을 주지 않는다는 가정합니다. 그 가정하에 학생 당 책 구입 또는 구입하지 않을 확률은 동일하므로 확률변수로 고려할 수 있습니다. 확률 변수는 다음과 같이 구성됩니다.
- 두 권 모두 구입
- 주교재만 구입
- 부교재만 구입
- 두 권 모두 구입하지 않음
표 1은 과거의 학생들의 책 구입경향을 나타낸 것입니다.
| case | probiity |
|---|---|
| no both books | 10% |
| main book | 45% |
| sub-book | 25% |
| both books | 20% |
주교재와 부교재의 가격이 각각 10000원과 7000원인 경우 강좌의 수강생 한명 당 평균적으로 지출할 책 구입비를 계산합니다.
책 구입을 위한 기대값을 계산하는 것으로 위에서 제시한 기존의 자료들을 사용하여 확률변수에 대해 다음과 같이 요약할 수 있습니다.
x=np.array([0,10000,7000,17000]) p=np.array([0.1,0.45,0.25,0.2]) da=pd.DataFrame([x, p], index=["가격","확률"], columns=[1,2,3,4]); da
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 가격 | 0 | 10000 | 7000 | 17000 |
| 확률 | 0.1 | 0.45 | 0.25 | 0.2 |
da.product(axis=0).sum()
9650.0
예 6)
확률변수 X의 조건은 다음과 같습니다.
| Rx = | {−3, | −2, −1, 0, 1, 2, 3} |
| f(x) = | 1 | |
| 7 | ||
| Rx: Range of random variable X | ||
변수 x를 기반으로 하는 새로운 랜덤변수 y=2|x+1|의 범위와 기대값을 결정합니다.
함수 y에 의해 새로운 변수 범위를 결정합니다.
Rx=np.array([-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3]) Ry=2*abs(Rx+1) print(Ry)
[4 2 0 2 4 6 8]
변수 y의 범위 Ry로 부터 빈도와 확률을 계산합니다.
val, fre=np.unique(Ry, return_counts=True) print(val) print(fre)
[0 2 4 6 8] [1 2 2 1 1]
prob=[Rational(i, 7) for i in fre] print(prob)
[1/7, 2/7, 2/7, 1/7, 1/7]
data=pd.DataFrame([val, prob], index=['Y', "prob"]); data
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| Y | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| prob | 1/7 | 2/7 | 2/7 | 1/7 | 1/7 |
E=data.product(axis=0).sum() print(E)
26/7
댓글
댓글 쓰기