Sympy 객체를 사용한 미분과 적분

내용

개요
sympy에 의한 미분
Sympy에 의한 적분

Sympy 객체를 사용한 미분과 적분

개요

모듈 듈 Sympy는 기호(symbol)로 이루어진 수학적 객체의 계산을 다룹니다. 즉, 일반적으로 사용하는 x, y 등과 같은 문자를 수학적 기호로 인식하여 수학식을 표현하는 수단을 제공합니다. 또한 sympy에서 ∞는 알파벳 소문자 o를 두번 연이어 표시하는 것으로 대체합니다.

oo = ∞

다음은 파이썬 코드와 모듈 math, sympy를 사용하여 제곱근을 계산한 결과를 나타낸 것입니다.

import math
from sympy import *

9**0.5

3.0

pow(9, 0.5) #파이썬 내장함수

3.0

math.sqrt(9) #모듈 math함수

3.0

sqrt(9) #sympy 함수

위 결과는 모두 실수로 반환됩니다. 그러나 8의 제곱근과 같이 근사값(무리수)이 반환되는 경우는 그 결과의 표현이 달라집니다. sympy를 사용할 경우 일반적으로 수학적으로 표현하는 방식으로 결과를 반환합니다.

round(8**0.5,3)

2.828

round(pow(8, 0.5), 3) #파이썬 내장함수

2.828

round(math.sqrt(8), 3) #모듈 math함수

2.828

sqrt(8) #sympy 함수

$2 \sqrt{2}$

위의 sympy에 의한 결과 $\sqrt{2}$는 기호입니다. 즉, sympy 객체는 실제 수와 함께 일정한 기호을 사용하기 때문에 다양한 수학적 표현이 가능합니다. sympy 모듈은 $\sqrt{2}$와 같은 자체적으로 지정된 기호외에 symbols() 함수를 사용하여 사용자가 사용하는 기호를 정의할 수 있습니다.

x, y=symbols('x y')
type(x)

sympy.core.symbol.Symbol

expr=x+2*y
expr

x + 2 y

위에서 expr 객체는 기호 x, y를 지닌 객체입니다. symbols()함수에 의해 정의된 기호는 수학적 연산이 가능합니다.

expr+1

 x + 2 y + 1

type(expr)

sympy.core.add.Add

expr-x

2 y

x*expr

 x (x + 2 y)

위의 결과는 x² + 2xy와 같이 모두 전개된 형태로 반환되지 않습니다. 모두 전개된 형태로 반환하기 위해서는 sympy 모듈의 expand() 함수를 사용하고 역으로 전개된 형태를 정리된 형태로 만들기 위해서는 factor() 함수를 사용합니다.

exEq=expand(x*expr)
exEq

 x² + 2 x y

factor(exEq)

 x (x + 2 y)

sympy에서 모든 종류의 계산들은 기호를 중심으로 이루어 집니다.

sympy에 의한 미분

sympy에서 미분은 diff() 함수를 사용합니다.

diff(cos(x), x)

 - sin(x)

diff(exp(x**2), x)

 2 x e^x²

위의 diff()에 의한 미분은 1차 미분을 나타낸 것이고 고차 미분 역시 이 함수를 사용하여 수행할 수 있습니다. 고차 미분을 위해서 미분의 횟수를 명시하거나 횟b수만큼 변수를 입력합니다. 다음은 4제곱인 x를 4번 미분한 것으로 결과는 24입니다.

diff(x**4, x)

4 x³

diff(x**4, x, 4)

diff(x**4, x, x, x, x)

함수에 여러 독립변수들이 존재한다면 diff() 함수에 변수들을 순서적으로 지정함으로서 연속미분을 실행할 수 있습니다.

x,y,z=symbols('x y z')
ex=exp(x*y*z)
ex

e^{x y z}

diff(ex, x, y, z)

(x² y² z² + 3 x y z + 1) e^{x y z}

ex_x=diff(ex, x); ex_x

y z e^{x y z}

ex_xy=diff(ex_x, y); factor(ex_xy)

z (x y z + 1) e^{x y z}

ex_xyz=diff(ex_xy, z); simplify(ex_xyz)

(x² y² z² + 3 x y z + 1\right) e^{x y z}

위의 결과와 같이 편미분에서 동일한 변수로 여러번 미분을 시행할 경우 변수 다음에 숫자를 인수로 전달하는 것으로 동일한 결과를 나타낼 수 있습니다.

diff(ex, x,2,y,z)

y z (x² y² z² + 5 x y z + 4) e^{x y z}

diff(ex, x,x,y,z)

y z (x² y² z² + 5 x y z + 4) e^{x y z}

위의 diff() 함수는 대상이 되는 식을 인수로 전달합니다.동일한 이름의 메소드를 사용할 수 있습니다. 즉 식.diff()를 적용할 수 있습니다. 적용방법은 diff()함수와 동일합니다

객체이름.diff()

x, y=symbols('x y')
f=x**2*y**3
diff(f, x, y)

 6 x y²

f.diff(x, y)

 6 x y²

기호로 구성된 sympy 객체에 값을 전달하기 위해서 subs()메서드를 사용합니다. 이 결과가 무리수 일 경우는 $\sqrt{a}$ 등과 같이 기호로 반환됩니다. 이러한 결과를 실수로 전환하기 위해서는 evalf()메소드 또는 N()함수를 적용합니다.

re=f.diff(y, x).subs({x:sqrt(2), y:7}); re

$$294 \sqrt{2}$$

re.evalf(4)

415.8

N(re, 4)

415.8

미분 식을 생성하기 위한 다른 방법으로는 Derivative 클래스의 Derivate()를 사용합니다. 이 함수는 미분된 결과를 모두 나타내지 않습니다. 즉, 평가되지 않은 상태로 결과가 출력됩니다. 그 사용방법은 diff()함수와 같습니다.

x, y=symbols('x y')
f=x**2
df=Derivative(f, x)
df

$$\frac{d}{d x} x^{2}$$

위와 같이 Derivative 클래스 객체는 평가되지 않은 결과 즉, 미분된 형식을 나타냅니다. 이러한 평가되지 않은 객체는 미분의 평가를 지연시키기 위해 또는 출력 목적으로 사용하는데 유용합니다. 적분에서도 같은 종류의 객체를 생성할 수 있습니다. 이러한 객체의 계산을 위해서는 doit()함수를 사용합니다.

Sympy에 의한 적분

적분을 계산하기 위해 integrate() 함수를 사용합니다. 적분은 부정적분과 정적분의 두 가지 종류가 있습니다. 부정적분을 실행하기 위해서는 함수의 적분을 실시할 범위를 전달하지 않습니다.

부정적분 :integrate(식, 변수)
정적분 : integrate(식, (변수, 범위 하한, 범위 상한))

x=symbols('x')
in_int=integrate(cos(x), x)#부정적분
in_int

sin(x)

de_int=integrate(cos(x), (x, -1, 1))#정적분
de_int

sin(1)

de_int.evalf(3)

1.68

부정적분은 위 코드의 결과와 같이 상수를 나타내지 않습니다.
sympy에서는 ∞를 알파벳 소문자 o를 두번 연이어(oo) 사용하여 표시합니다.

다음을 적분해 봅니다.

x=symbols('x')
integrate(exp(-x), (x, 0, oo))

두 개의 변수를 가진 식에 각 변수에 따라 적분을 수행할 경우 integrate()함수에 변수와 범위를 튜플 형식으로 나열합니다. 이 경우 안쪽에 있는 변수부터 실행됩니다. 또한 평가할 수 없는 경우는 적분 식 자체를 반환합니다.

x, y=symbols('x y')
integrate(exp(-x**2-y**2), (x, -oo, oo),(y, -oo, oo))

π

integrate(x**x, x)

$$\int x^{x}\, dx$$

미분의 Derivative()와 같은 형식으로 적분은 Integral()를 사용합니다. 미분과 마찬가지로 Integral 객체의 평가를 위해서는 doit() 함수를 사용합니다. 이 클래스를 사용하여 위 코드의 이중 적분을 나타내볼까요.

int1=Integral(exp(-x**2-y**2), (x, -oo, oo),(y, -oo, oo)); int1

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{- x^{2} - y^{2}}\, dx\, dy$$

int1.doit()

π

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같

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[math] 정적분의 특성