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좌표 벡터(Coordinate vector) 선형 결합이 자명한(trivial)해 를 갖는다면 그 시스템의 모든 열벡터는 기저(basis) 가 되며 스판의 요소가 됩니다. 그러므로 기저벡터들과 선형 결합으로 생성되는 부분공간 $W_x$에 대한 스판을 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다. \begin{align} W_x&= b_1x_1 + b_2x_2 + \cdots + b_px_p\\ &= Bx\\ B &= \{b_1, b_2, \cdots, b_p\} \end{align} (식 1) 식 1은 행렬 B와 변수 벡터와의 선형결합을 나타냅니다. 행렬 B의 각 열벡터가 기저벡터라면 변수벡터는 유일한 벡터가 되며 결과인 $W_x$는 기저벡터들로 구성된 행렬 B로 이루어진 벡터 공간 의 부분 공간이 됩니다. 즉, 행렬 B의 각 열벡터는 부분 공간 $W_x$의 스판(span)이 됩니다(식 2). $$ W_x= \text{Span} \{b_1, b_2, \cdots, b_p\}$$ (식 2) 예 1) 벡터들 v 1 , v 2 들은 벡터 c의 기저 벡터입니까? $$v_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2 \end{bmatrix}, \quad v_2= \begin{bmatrix}-1\\0\\1 \end{bmatrix}, \quad c=\begin{bmatrix}3\\12\\7 \end{bmatrix}$$ 위 벡터들의 선형결합은 다음과 같습니다. \begin{align}3x_1-x_2&=3\\6x_1-0x_2&=12\\2x_1-x_2&=7 \end{align} import numpy as np import numpy.linalg as la from sympy import matplotlib.pyplot as plt v1=np.array([3, 6, 2]) v2=np.array([-1, 0, -1]) c=np.array([3, 12, 7]) aug=np.c_[v1, v2...

부분공간의 차원 관련된 내용 벡터 공간과 부분공간 (vector space & subspace) 예 1) H가 4차원의 좌표(a, b, c, d)에서 다음 식들을 만족하는 모든 벡터들의 집합이라고 한다면 H가 4차원의 부분 공간인지를 확인합니다. \begin{align} a - 2b + 5c - d& = 0\\-a - b + c& = 0\end{align} 위 식은 식 1과 같이 행렬시스템으로 나타낼 수 있습니다. $$\begin{bmatrix} 1&-2&5&1\\-1&-1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}$$ (식 1) A=np.array([[1,-2,5,-1],[-1, -1, 1, 0]]) c=np.zeros([2,1]) aug=np.hstack([A, c]) print(aug) [[ 1. -2. 5. -1. 0.] [-1. -1. 1. 0. 0.]] print(np.array(Matrix(aug).rref()[0], dtype=float).round(3)) [[ 1. 0. 1. -0.333 0. ] [ 0. 1. -2. 0.333 0. ]] 선형결합은 2개의 자유 변수 c, d를 포함하므로 자명하지 않은(non trivial) 해를 갖습니다. 즉, 선형 종속으로 선형 결합이 성립하므로 벡터 [[a], [b], [c], [d]]는 4차원의 부분 공간으로 간주할 수 있습니다. 그러나 변수 a, b는 c와 d에 의존적입니다. 이 경우 그 벡터의 차원을 차원을 4차원으로 고정할 수 있을까요? 표준 행렬 A의 각 열벡터 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 라고 하면 위 rref의 결과로 A 1 , A 2 가 기저벡터로 나머지 벡터들인 A 3 , A 4...

기저(Basis) 벡터 부분공간이 되는 벡터들은 스판인 벡터들의 확대 또는 축소의 결과입니다. 즉, 스판인 벡터들은 그 벡터 공간을 형성하는 기본이 되는 벡터(들)입니다. 이러한 벡터들을 기저(Basis) 또는 기저벡터라고 합니다. 기저벡터들의 선형결합은 선형독립입니다. 즉, 기저 벡터들은 다음 조건을 만족해야 합니다. 기저 벡터(Basis vector) 벡터 W가 벡터 공간 B(b 1 , b 2 , … , b p )의 부분공간인 경우 B가 W의 기저(basis)가 되는 것은 다음과 동치입니다. ⇔ 다음의 W와 B의 선형결합은 독립입니다. $$\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{np}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{bmatrix}$$ 벡터 공간에서 기저는 선형 독립인 벡터들입니다. ⇔ W = Span{b 1 , b 2 , … , b p } 즉, W는 집합 B로 구성된 벡터공간의 부분 공간이며 그 벡터들의 선형결합의 결과입니다. 기약행사다리꼴 형태에서 피벗 열(pivot column) 에 해당하는 벡터와 같습니다. 결과적으로 벡터 B 집합은 W(부분공간)의 스판이 되며 B의 선형 결합에 의한 결과 벡터가 W가 된다는 것을 의미합니다. 또한 B와 W의 선형결합은 독립이어야 하므로 자명한 해(유일해) 를 가져야 합니다. 표준기저(Standard basis) 항등행렬을 표준행렬로 가진 선형결합의 경우 선형독립입니다. 그러므로 항등행렬을 구성하는 각 열벡터들은 기저벡터의 가장 기본형으로 표준기저라고 합니다. import numpy as np import numpy.linalg as la ...