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t분포(Student's t distribution) 정규분포 N(μ, σ 2 )을 따르는 모집단으로부터 n개의 샘플들(x 1 , x 2 , ..., x n )을 추출하면 정규화된 샘플들의 제곱의 합은 자유도가 n-1인 χ 2 분포를 따릅니다(식 1). \begin{align}X&=(x_1,\,x_2,\,\cdots,\, x_n)\\S^2&=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\\ (n-1)S^2 &= \sum^n_{i=1}(x_i - \bar{x})^2\\ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}&= \sum^n_{i=1}\frac{(x_i - \bar{x})^2}{\sigma^2}\\&=\sum^n_{i=1}z_i^2\\&= z_1^2 +z_2^2+ \cdots +z_n^2 \end{align} (식 1) 식 3.2.43의 마지막 항의 각각 정규화된 값의 제곱은 χ 2 (1)( 카이제곱 분포 참조 )을 따르므로 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$는 χ 2 (n)를 따릅니다. 그러므로 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z과 자유도 k(= n)에 대한 카이제곱분포의 비의 결과를 새로운 확률변수 T로 정의할 수 있습니다 (식 2). $$T_k =\frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2_k}{k}}}$$ (식 2) 식 2에서 Z은 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 χ 2 k 는 자유도 k인 카이제곱분포를 따르는 확률변수로 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$을 의미합니다. k는 자유도입니다. 이 결과인 확률변수 T는 자유도가 k인 t 분포를 따릅니다. 식 2에 의해 생성되는 확률변수 T의 분포인 t 분포의 확률밀도 함수(pdf)는 식 3로 정의합니다. \begin{align}f(x,\,k)&=\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi k}\Gam...