[data analysis] t 분포(Student's t distribution)

t분포(Student's t distribution)

정규분포 N(μ, σ²)을 따르는 모집단으로부터 n개의 샘플들(x₁, x₂, ..., x_n)을 추출하면 정규화된 샘플들의 제곱의 합은 자유도가 n-1인 χ²분포를 따릅니다(식 1).

\begin{align}X&=(x_1,\,x_2,\,\cdots,\, x_n)\\S^2&=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\bar{x})^2\\ (n-1)S^2 &= \sum^n_{i=1}(x_i - \bar{x})^2\\ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}&= \sum^n_{i=1}\frac{(x_i - \bar{x})^2}{\sigma^2}\\&=\sum^n_{i=1}z_i^2\\&= z_1^2 +z_2^2+ \cdots +z_n^2 \end{align}

(식 1)

식 3.2.43의 마지막 항의 각각 정규화된 값의 제곱은 χ²(1)(카이제곱 분포 참조)을 따르므로 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$는 χ²(n)를 따릅니다. 그러므로 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z과 자유도 k(= n)에 대한 카이제곱분포의 비의 결과를 새로운 확률변수 T로 정의할 수 있습니다 (식 2).

$$T_k =\frac{Z}{\sqrt{\frac{\chi^2_k}{k}}}$$

(식 2)

식 2에서 Z은 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 χ²_k는 자유도 k인 카이제곱분포를 따르는 확률변수로 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$을 의미합니다. k는 자유도입니다. 이 결과인 확률변수 T는 자유도가 k인 t 분포를 따릅니다.

식 2에 의해 생성되는 확률변수 T의 분포인 t 분포의 확률밀도 함수(pdf)는 식 3로 정의합니다.

\begin{align}f(x,\,k)&=\frac{\Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\sqrt{\pi k}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}} \\& x: \;\text{확률변수} \\& k: \;\text{자유도} \\& Γ: \;\text{감마함수}\end{align}

(식 3)

식 3과 같이 t 분포 함수의 모수는 자유도 k로서 t 분포는 t(k)와 같이 나타냅니다.

그림 1은 자유도에 따른 t분포의 변화된 형태입니다.

그림 1. t분포에서 자유도의 영향.

x=np.linspace(-3, 3, 1000)
k=[1, 5, 10]
col=['g','b','r']
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.plot(x, stats.norm.pdf(x), label="N(0, 1)")
for i, j in zip(k, col):
    ax.plot(x, stats.t.pdf(x, i), color=j, label=f"t({i})")
ax.set_xlabel("x", loc="right")
ax.set_ylabel("pdf", loc="top")
ax.legend(loc='best', frameon=False)
plt.show()

그림 1에서 나타낸 것과 같이 t분포는 표준정규분포와 같이 좌우대칭입니다. 그러나 자유도가 증가할수록 분포의 높이가 낮아지며 꼬리부분의 두터워집니다. 일반적으로 표본의 크기가 30 이상이면 표준정규분포에 근접합니다. 반대로 표본의 크기가 30이하이면 정규분포보다는 t-분포의 사용이 적절함을 의미합니다. 표본의 크기가 작으면 신뢰도가 낮아지므로 정규분포보다 추정구간이 넓은 t분포의 적용이 더 바람직합니다.

t 분포는 scipy.stats.t()클래스를 사용합니다.

예 1)

P(t₂ ≤ 1.5)을 계산합니다.

round(stats.t. cdf(1.5, 2), 3)

0.864