[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation)

n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation)이라고 합니다.

$$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$

식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다.

\begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align}

식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다.

\begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align}

유사행렬의 특성

유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B'와 같이 나타내며 다음의 특징을 가집니다.

1. rank(A) = rank(B)
2. det(A) = det(B)
3. 동일한 특성방정식을 가집니다.
4. 동일한 고유값을 가집니다.
5. A는 B가 가역적일 때만 가역적입니다.

예 1)

A와 B가 유사하면 A²과 B²은 유사함을 보이세요.

\begin{align} A &= PBP^{-1}\\ A^2 &= (PBP^{-1})(PBP^{-1})\\ &= PBBP^{-1}\\ &= PB^2P^{-1}\\ \end{align}

예 2)

다음 두 행렬 A, B는 유사합니까?

$$A=\begin{bmatrix}3&-2\\0&-3 \end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}3&1\\13&1 \end{bmatrix}$$

import numpy as np
import numpy.linalg as la
from sympy import *

두 행렬 A, B의 급수와 고유값을 비교합니다.

A=np.array([[3, -2],[0, -3]])
B=np.array([[3,1],[13, 1]])
A_rank=la.matrix_rank(A)
B_rank=la.matrix_rank(B)
A_rank, B_rank

(2, 2)

A_eig=la.eig(A)
B_eig=la.eig(B)
np.allclose(A_eig[0], B_eig[0])

False

두 행렬의 급수는 같지만 고유값이 같지 않으므로 유사변환의 특성에 부합하지 않습니다. 즉, 두 행렬은 유사하지 않습니다.

예 3)

다음 두 행렬 A, B는 유사행렬입니까?

$$A = \begin{bmatrix} 1& -2 \\-1&-2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1&-1\\-2&-2 \end{bmatrix}$$

두 행렬의 급수와 고유값을 비교합니다.

A=np.array([[1,-2],[-1, -2]])
B=np.array([[1,-1],[-2,-2]])
A_rank=la.matrix_rank(A)
B_rank=la.matrix_rank(B)
A_rank, B_rank

(2, 2)

A_eig=la.eig(A)
B_eig=la.eig(B)
np.isclose(A_eig[0], B_eig[0])

array([ True,  True])

위 결과에 의하면 두 행렬은 유사행렬입니다.