[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation)

n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation)이라고 합니다.

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A=PB{P}^{-1}\iff P^{-1}AP=B\end{array}$$

식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(식 2)}& B-\lambda I& =P^{-1}AP–\lambda P^{-1}P& =P^{-1}(AP–\lambda P)\\ & =P^{-1}(A-\lambda I)P\end{array}$$

식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다.

$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}\mathsf{\text{det}}(B-\lambda I)& =\mathsf{\text{det}}(P^{-1}(AP–\lambda P))\\ & =\mathsf{\text{det}}(P^{-1})\mathsf{\text{det}}((A–\lambda I))\mathsf{\text{det}}(P)\\ & =\mathsf{\text{det}}(P^{-1})\mathsf{\text{det}}(P)\mathsf{\text{det}}((A–\lambda I))\\ & =\mathsf{\text{det}}(A–\lambda I)\end{array}\\ & \begin{array}{rl}\because \mathsf{\text{det}}(P^{-1})\mathsf{\text{det}}(P)& =\mathsf{\text{det}}(P^{-1}P)\\ & =\mathsf{\text{det}}(I)\end{array}\end{array}$$

유사행렬의 특성

유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B'와 같이 나타내며 다음의 특징을 가집니다.

1. rank(A) = rank(B)
2. det(A) = det(B)
3. 동일한 특성방정식을 가집니다.
4. 동일한 고유값을 가집니다.
5. A는 B가 가역적일 때만 가역적입니다.

예 1)

A와 B가 유사하면 A²과 B²은 유사함을 보이세요.

$$\begin{array}{rl}A& =PB{P}^{-1}\\ A^2& =(PB{P}^{-1})(PB{P}^{-1})\\ & =PBB{P}^{-1}\\ & =P{B}^2{P}^{-1}\end{array}$$

예 2)

다음 두 행렬 A, B는 유사합니까?

$$A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 0& -3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 13& 1\end{array}\right]$$

import numpy as np
import numpy.linalg as la
from sympy import *

두 행렬 A, B의 급수와 고유값을 비교합니다.

A=np.array([[3, -2],[0, -3]])
B=np.array([[3,1],[13, 1]])
A_rank=la.matrix_rank(A)
B_rank=la.matrix_rank(B)
A_rank, B_rank

(2, 2)

A_eig=la.eig(A)
B_eig=la.eig(B)
np.allclose(A_eig[0], B_eig[0])

False

두 행렬의 급수는 같지만 고유값이 같지 않으므로 유사변환의 특성에 부합하지 않습니다. 즉, 두 행렬은 유사하지 않습니다.

예 3)

다음 두 행렬 A, B는 유사행렬입니까?

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& -2\end{array}\right],\hspace{1em}B=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& -2\end{array}\right]$$

두 행렬의 급수와 고유값을 비교합니다.

A=np.array([[1,-2],[-1, -2]])
B=np.array([[1,-1],[-2,-2]])
A_rank=la.matrix_rank(A)
B_rank=la.matrix_rank(B)
A_rank, B_rank

(2, 2)

A_eig=la.eig(A)
B_eig=la.eig(B)
np.isclose(A_eig[0], B_eig[0])

array([ True,  True])

위 결과에 의하면 두 행렬은 유사행렬입니다.