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급수(Rank) 선형결합에 의해 생성되는 부분 공간 W의 차원 은 그 공간을 구성하는 기저(Basis) 벡터 의 수 입니다. 그 기저 벡터의 수를 급수(rank) 라고 합니다. 예 1) 다음 동차 방정식의 급수(rank)를 결정해 봅니다. 3x 1 + 6x 2 - x 3 + x 4 + 7x 5 = 0 x 1 - 2x 2 + 2x 3 + 3x 4 - x 5 = 0 2x 1 - x 2 + 5x 3 + 8x 4 - 4x 5 = 0 v1=np.array([3, 1, 2]) v2=np.array([6, -2, -1]) v3=np.array([-1, 2, 5]) v4=np.array([1, 3, 8]) v5=np.array([7, -1, -4]) c=np.zeros(3) aug=np.c_[v1, v2, v3, v4, v5, c] print(aug) [[ 3 6 -1 1 7 0] [ 1 -2 2 3 -1 0] [ 2 -1 5 8 -4 0]] print(np.array(Matrix(aug).rref()[0], dtype=float).round(2)) [[ 1. 0. 0. 0.45 2.03 0. ] [ 0. 1. 0. 0.18 -0.12 0. ] [ 0. 0. 1. 1.45 -1.64 0. ]] 위 결과에 의하면 피벗열은 0, 1, 2열이므로 이 열에 대응되는 열벡터들은 기저벡터가 됩니다. 그러므로 식 1과 같이 나타낼 수 있는 선형 시스템들은 모두 선형 독립 관계가 성립합니다. \begin{align}&\text{system 1}:\; \begin{bmatrix}3&6&-1\\1&-2&2\\2&-1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\8\end{bmatrix}\\ ...

열공간(Column Space)과 행공간(row space) m×n 형태의 행렬 A의 기저(Basis) 벡터 들의 집합을 열공간(column space) 라고 하며 Col A 로 나타냅니다. 예 1) 다음 표준 행렬 A의 열공간을 계산해봅니다. $$\begin{bmatrix} -3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&1\\2&-4&5&8&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}$$ 위 식을 일반 선형시스템으로 나타내면 식 1과 같습니다. \begin{align}3x_1 + 6x_2 - x_3 + x_4 - 7x_5&= 0\\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 + x_5& = 0\\ 2x_1 - 4x_2 + 5x_3 + 8x_4 - 4x_5& = 0\end{align} (식 1) A=np.array([[-3, 6, -1, 1, -7],[1,-2,2,3,-1],[2, -4, 5, 8, -4]]) c=np.zeros([3,1]) Matrix(np.hstack([A,c])).rref() (Matrix([ [1, -2.0, 0, -1.0, 3.0, 0], [0, 0, 1, 2.0, -2.0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0]]), (0, 2)) 행렬 A의 기약행사다리꼴에서 0과 2열이 피봇열(pivot column) 입니다. 즉, 두 열벡터가 기저 벡터가 되며 이 기저 벡터들과 나머지 벡터들과의 선형 독립이 성립됩니다. 이 관계를 확인해 봅니다. 먼저 2열의 벡터와의 선형결합을 조사합니다. #기저벡터 A_b=A[:,[0, 2]] #Ab=A의 1열 A_bA1=np.hstack([A_b, A[:,1].reshape(-1,1)]) M...

좌표 벡터(Coordinate vector) 선형 결합이 자명한(trivial)해 를 갖는다면 그 시스템의 모든 열벡터는 기저(basis) 가 되며 스판의 요소가 됩니다. 그러므로 기저벡터들과 선형 결합으로 생성되는 부분공간 $W_x$에 대한 스판을 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다. \begin{align} W_x&= b_1x_1 + b_2x_2 + \cdots + b_px_p\\ &= Bx\\ B &= \{b_1, b_2, \cdots, b_p\} \end{align} (식 1) 식 1은 행렬 B와 변수 벡터와의 선형결합을 나타냅니다. 행렬 B의 각 열벡터가 기저벡터라면 변수벡터는 유일한 벡터가 되며 결과인 $W_x$는 기저벡터들로 구성된 행렬 B로 이루어진 벡터 공간 의 부분 공간이 됩니다. 즉, 행렬 B의 각 열벡터는 부분 공간 $W_x$의 스판(span)이 됩니다(식 2). $$ W_x= \text{Span} \{b_1, b_2, \cdots, b_p\}$$ (식 2) 예 1) 벡터들 v 1 , v 2 들은 벡터 c의 기저 벡터입니까? $$v_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2 \end{bmatrix}, \quad v_2= \begin{bmatrix}-1\\0\\1 \end{bmatrix}, \quad c=\begin{bmatrix}3\\12\\7 \end{bmatrix}$$ 위 벡터들의 선형결합은 다음과 같습니다. \begin{align}3x_1-x_2&=3\\6x_1-0x_2&=12\\2x_1-x_2&=7 \end{align} import numpy as np import numpy.linalg as la from sympy import matplotlib.pyplot as plt v1=np.array([3, 6, 2]) v2=np.array([-1, 0, -1]) c=np.array([3, 12, 7]) aug=np.c_[v1, v2...

부분공간의 차원 관련된 내용 벡터 공간과 부분공간 (vector space & subspace) 예 1) H가 4차원의 좌표(a, b, c, d)에서 다음 식들을 만족하는 모든 벡터들의 집합이라고 한다면 H가 4차원의 부분 공간인지를 확인합니다. \begin{align} a - 2b + 5c - d& = 0\\-a - b + c& = 0\end{align} 위 식은 식 1과 같이 행렬시스템으로 나타낼 수 있습니다. $$\begin{bmatrix} 1&-2&5&1\\-1&-1&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b\\c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}$$ (식 1) A=np.array([[1,-2,5,-1],[-1, -1, 1, 0]]) c=np.zeros([2,1]) aug=np.hstack([A, c]) print(aug) [[ 1. -2. 5. -1. 0.] [-1. -1. 1. 0. 0.]] print(np.array(Matrix(aug).rref()[0], dtype=float).round(3)) [[ 1. 0. 1. -0.333 0. ] [ 0. 1. -2. 0.333 0. ]] 선형결합은 2개의 자유 변수 c, d를 포함하므로 자명하지 않은(non trivial) 해를 갖습니다. 즉, 선형 종속으로 선형 결합이 성립하므로 벡터 [[a], [b], [c], [d]]는 4차원의 부분 공간으로 간주할 수 있습니다. 그러나 변수 a, b는 c와 d에 의존적입니다. 이 경우 그 벡터의 차원을 차원을 4차원으로 고정할 수 있을까요? 표준 행렬 A의 각 열벡터 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 라고 하면 위 rref의 결과로 A 1 , A 2 가 기저벡터로 나머지 벡터들인 A 3 , A 4...