급수(Rank)
선형결합에 의해 생성되는 부분 공간 W의 차원은 그 공간을 구성하는 기저(Basis) 벡터의 수 입니다. 그 기저 벡터의 수를 급수(rank)라고 합니다.
예 1)
다음 동차 방정식의 급수(rank)를 결정해 봅니다.
| 3x1 + 6x2 - x3 + x4 + 7x5 = 0 |
| x1 - 2x2 + 2x3 + 3x4 - x5 = 0 |
| 2x1 - x2 + 5x3 + 8x4 - 4x5 = 0 |
v1=np.array([3, 1, 2]) v2=np.array([6, -2, -1]) v3=np.array([-1, 2, 5]) v4=np.array([1, 3, 8]) v5=np.array([7, -1, -4]) c=np.zeros(3) aug=np.c_[v1, v2, v3, v4, v5, c] print(aug)
[[ 3 6 -1 1 7 0] [ 1 -2 2 3 -1 0] [ 2 -1 5 8 -4 0]]
print(np.array(Matrix(aug).rref()[0], dtype=float).round(2))
[[ 1. 0. 0. 0.45 2.03 0. ] [ 0. 1. 0. 0.18 -0.12 0. ] [ 0. 0. 1. 1.45 -1.64 0. ]]
위 결과에 의하면 피벗열은 0, 1, 2열이므로 이 열에 대응되는 열벡터들은 기저벡터가 됩니다. 그러므로 식 1과 같이 나타낼 수 있는 선형 시스템들은 모두 선형 독립 관계가 성립합니다.
| \begin{align}&\text{system 1}:\; \begin{bmatrix}3&6&-1\\1&-2&2\\2&-1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\8\end{bmatrix}\\ &\text{system 2}:\; \begin{bmatrix}3&6&-1\\1&-2&2\\2&-1&5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\\-1\\-4 \end{bmatrix}\end{align} | (식 1) |
re1=Matrix(np.c_[aug[:,:3], aug[:,3]]).rref() print(np.array(re1[0], dtype=float). round(2))
[[1. 0. 0. 0.45] [0. 1. 0. 0.18] [0. 0. 1. 1.45]]
re2=Matrix(np.c_[aug[:,:3], aug[:,4]]).rref() print(np.array(re2[0], dtype=float). round(2))
[[ 1. 0. 0. 2.03] [ 0. 1. 0. -0.12] [ 0. 0. 1. -1.64]]
위 결과는 행렬 aug의 기저 벡터는 3개이므로 급수(Rank)는 3입니다.
Rank aug = 3
numpy.linalg 패키지의 matrix_rank() 함수를 사용하여 급수를 계산할 수 있습니다.
la.matrix_rank(aug)
3
행렬의 급수는 행렬의 다양한 특성들로 확인할 수 있습니다.
행렬의 Rank
- 0이 아닌 부분공간 W의 차원은 그 공간의 기저(basis)벡터의 수
- 부분공간이 0인 W의 차원은 0으로 정의합니다.
- 피봇열(pivot column)의 수
- 부분공간의 차원을 나타냅니다.
- numpy.linalg.matrix_rank()로 계산
결과적으로 선형결합에서 다음은 모두 동치입니다.
선형독립의 의미
- 선형 독립 (linear independent)
- ⇔ 표준행렬은 기저(basis)벡터들만으로 구성
- ⇔ 유일한 해 ( trivial solution)
- ⇔ 유일한 좌표벡터(coordinate vector)의 존재
- ⇔ 자유변수(free variable)가 없음
- ⇔ n × m 차원 행렬 A에서 Rank A = m
위 예에서 부분공간 W는 식 2와 같습니다.
| W = span{v1, v2, v3} | (식 2) |
식 2의 스판 벡터 v1, v2, v3는 기저 벡터라는 것을 의미합니다. 그러므로 위의 system1, system2은 자명한 해를 가지며 부분공간은 3차원이 됩니다. 식 3의 표현과 같이 각 선형시스템에서의 해 집합이 좌표 벡터가 됩니다.
| \begin{align}&\text{base}=\begin{bmatrix}3&6&-1\\1&-2&2\\2&-1&5\end{bmatrix}\\&\text{system 1}\Rightarrow \begin{bmatrix}1\\3\\8\end{bmatrix}_\text{base}=\begin{bmatrix}0.455\\0.183\\1.45\end{bmatrix}\\&\text{system 2}\Rightarrow \begin{bmatrix}7\\-1\\-4\end{bmatrix}_\text{base}=\begin{bmatrix}2.03\\-0.121\\-1.64\end{bmatrix} \end{align} | (식 3) |
예 2)
다음 행렬 A의 Rank A를 결정합니다.
$$A=\begin{bmatrix}2& 5& -3& -4& 8\\ 4& 7& -4& -3& 9\\ 6& 9& -5& 2& 4\\ 0& -9& 6& 5& -6\end{bmatrix}$$
A=np.array([[ 2, 5, -3, -4, 8], [ 4, 7, -4, -3, 9], [ 6, 9, -5, 2, 4], [ 0, -9, 6, 5, -6]]) Matrix(A).rref()
(Matrix([ [1, 0, 1/6, 0, 17/12], [0, 1, -2/3, 0, -1/6], [0, 0, 0, 1, -3/2], [0, 0, 0, 0, 0]]), (0, 1, 3))
la.matrix_rank(A)
3
위의 결과로부터 행렬 A의 열의 수 n은 식 4와 같이 정리할 수 있습니다.
| n = Rank A + # of nonpivot column | (식 4) |
예 3)
벡터 v1, v2, v3로 구성된 선형결합이 가능하다면 부분공간의 차원을 결정합니다.
$$v_1=\begin{bmatrix}2\\-8\\6\end{bmatrix},\quad v_2=\begin{bmatrix}3\\-7\\-1\end{bmatrix},\quad v_3=\begin{bmatrix}-1\\6\\-7\end{bmatrix}$$
v1=np.array([[2],[-8],[6]]) v2=np.array([[3],[-7],[-1]]) v3=np.array([[-1],[6],[-7]]) Matrix(np.c_[v1, v2, v3]).rref()
(Matrix([ [1, 0, -11/10], [0, 1, 2/5], [0, 0, 0]]), (0, 1))
위의 결과에서 피봇열(pivot column)은 0과 1열 입니다. 그러므로 부분공간 H의 차수는 2차원입니다.
예 4)
V = {v1, v2}에서 벡터 c의 좌표벡터를 결정합니다. 또한 전이벡터(x)와 V의 차원, 열공간과 영공간의 수?
$$v_1=\begin{bmatrix}1\\4\\-3\end{bmatrix}, \quad v_2=\begin{bmatrix}-2\\-7\\5\end{bmatrix}, \quad x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}, \quad c=\begin{bmatrix}2\\9\\-7\end{bmatrix}$$
v1=np.array([[1], [4], [-3]]) v2=np.array([[-2], [-7], [5]]) c=np.array([[2], [9], [-7]]) au=np.c_[v1, v2, c] Matrix(au).rref()
(Matrix([ [1, 0, 4], [0, 1, 1], [0, 0, 0]]), (0, 1))
위 결과와 같이 v1, v2는 기저벡터이며 2차원입니다. 즉, Rank V = 2입니다.
la.matrix_rank(np.c_[v1, v2])
2
위 시스템의 해인 [4, 1]은 벡터 c에 대응하는 좌표벡터(x)가 됩니다. 이 좌표벡터는 기저벡터들로 구성된 기저행렬 V에 의해 벡터 c로 전환되는 것으로 V가 전이행렬이 됩니다(식 5).
| cv = x | (식 5) |
피벗열의 수는 열공간의 차원(dim Col)과 같으며 피벗열이 아닌 열의수는 그 행렬의 영공간(Null space)의 수와 같습니다. 그러므로 위 시스템에서 열공간은 2개, 영공간은 0개입니다
행렬의 차원과 급수
m×n 형태의 행렬 A에서 피봇 벡터와 나머지 벡터들 사이에 식 6의 관계가 성립합니다.
| rank A + dim Nul A | (식 6) |
| = (# of pivot column) + (# of nonpivot column) | |
| = n |
즉, 피봇 열의 수 = 열공간의 수 = 급수
예 5)
다음 행렬 A의 급수를 결정해 봅니다.
$$A=\begin{bmatrix}3&0&-1\\3&0&-1\\4&0&5\end{bmatrix}$$
A=np.array([[3,0,-1], [3,0,-1], [4,0,5]]) Matrix(A).rref()
(Matrix([ [1, 0, 0], [0, 0, 1], [0, 0, 0]]), (0, 2))
위 기약행사다리꼴의 결과에 의하면 피벗 열이 2개이고 자유 변수가 1개이 입니다. 그러므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
| Rank A | = dim Col A = 2 |
| Total number of columns | = dim Col A+ dim Nul A |
| = 2 + 1 | |
| = 3 |
댓글
댓글 쓰기