[Linear Algebra] 기저(Basis) 벡터

기저(Basis) 벡터

부분공간이 되는 벡터들은 스판인 벡터들의 확대 또는 축소의 결과입니다. 즉, 스판인 벡터들은 그 벡터 공간을 형성하는 기본이 되는 벡터(들)입니다. 이러한 벡터들을 기저(Basis) 또는 기저벡터라고 합니다. 기저벡터들의 선형결합은 선형독립입니다. 즉, 기저 벡터들은 다음 조건을 만족해야 합니다.

기저 벡터(Basis vector)

벡터 W가 벡터 공간 B(b₁, b₂, … , b_p)의 부분공간인 경우 B가 W의 기저(basis)가 되는 것은 다음과 동치입니다.

• ⇔ 다음의 W와 B의 선형결합은 독립입니다.
• $$\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{np}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1\\\vdots\\w_n\end{bmatrix}$$
  • 벡터 공간에서 기저는 선형 독립인 벡터들입니다.
• ⇔ W = Span{b₁, b₂, … , b_p}

즉, W는 집합 B로 구성된 벡터공간의 부분 공간이며 그 벡터들의 선형결합의 결과입니다.

기약행사다리꼴 형태에서 피벗 열(pivot column)에 해당하는 벡터와 같습니다.

결과적으로 벡터 B 집합은 W(부분공간)의 스판이 되며 B의 선형 결합에 의한 결과 벡터가 W가 된다는 것을 의미합니다. 또한 B와 W의 선형결합은 독립이어야 하므로 자명한 해(유일해)를 가져야 합니다.

표준기저(Standard basis)

항등행렬을 표준행렬로 가진 선형결합의 경우 선형독립입니다. 그러므로 항등행렬을 구성하는 각 열벡터들은 기저벡터의 가장 기본형으로 표준기저라고 합니다.

import numpy as np
import numpy.linalg as la 
import sympy as sp

I3=np.eye(3)
print(I3)

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]

c=np.zeros([3,1])
Matrix(np.hstack([I3, c])).rref()

(Matrix([
 [1, 0, 0, 0],
 [0, 1, 0, 0],
 [0, 0, 1, 0]]),
 (0, 1, 2))

la.det(I3)

1.0

다음과 같이 정리할 수 있습니다.

표준기저(Standard basis)

• 항등 행렬의 각 열 벡터는 모든 벡터들과 선형 독립
• 표준 기저(standard basis): 항등행렬의 각 열벡터들
• 벡터들의 기약 행 사다리꼴(rref)에서 항등 행렬 형태를 보인다면 기저가 됩니다.

다음과 같이 정리할 수 있습니다.

• 항등 행렬의 각 열 벡터는 모든 벡터들과 선형 독립
• 표준 기저(standard basis): 항등행렬의 각 열벡터들
• 벡터들의 기약행사다리꼴(rref)에서 항등 행렬 형태를 보인다면 기저가 됩니다.

예 1)

다음 세 벡터가 기저인지 결정해봅니다.

$$V=\left\{ \begin{bmatrix}3\\-4\\-2\end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}, \; \begin{bmatrix}6\\7\\3\end{bmatrix}\right\}$$

위 V의 각 열벡터들에 의해 이루어지는 동차 선형 결합이 선형 독립임을 나타내는 것입니다.

v1=np.array([3,0,6]).reshape(-1,1)
v2=np.array([-4, 1, 7]).reshape(-1,1)
v3=np.array([-2,1,5]).reshape(-1,1)
V=np.hstack([v1,v2,v3])
V

array([[ 3, -4, -2],
           [ 0,  1,  1],
           [ 6,  7,  5]])

round(la.det(V), 3)

-18.0

위 결과에 의하면 세 벡터들의 결합인 표준 행렬 V의 행렬식이 0이 아닙니다. 즉, V에 의한 선형결합은 선형독립이며 유일한 해를 가집니다. V는 정방행렬이며 가역행렬이므로 np.linalg.solve() 함수를 사용하여 해를 결정할 수 있습니다.

c=np.zeros((3,1))
sol=la.solve(V, c)
print(sol)

[[-0.]
 [ 0.]
 [-0.]]

또한 행렬 V와 상수행렬 c와의 결합인 확대 행렬(augment matrix)에 대한 기약행사다리꼴(rref)로 확인할 수 있습니다.

Matrix(np.c_[V, c]).rref()

(Matrix([
 [1, 0, 0, 0],
 [0, 1, 0, 0],
 [0, 0, 1, 0]]),
 (0, 1, 2))

확대 행렬의 모든 열벡터는 피벗 열이므로 자유변수가 없습니다. 즉, 그 시스템은 선형 독립이므로 표준 행렬의 모든 열벡터가 기저 벡터가 됩니다.

기약행사다리꼴에서 피벗 열(pivot column)은 기저 벡터들이 됩니다.

예 2)

다음 벡터들이 기저 인지를 결정해 봅니다.

$$v_1=\begin{bmatrix}0\\2\\-1 \end{bmatrix}, \; v_2=\begin{bmatrix} 2\\2\\0\end{bmatrix}, \; v_3=\begin{bmatrix}6\\16\\-5 \end{bmatrix}$$

v1=np.array([0, 2, -1])
v2=np.array([2, 2, 0])
v3=np.array([6, 16, -5])
V=np.vstack([v1,v2,v3])
print(V)

[[ 0  2  6]
 [ 2  2 16]
 [-1  0 -5]]

la.det(V).round(3)

0.0

c=np.zeros([3,1])
Matrix(np.hstack([V, c])).rref()

(Matrix([
 [1, 0, 5.0, 0],
 [0, 1, 3.0, 0],
 [0, 0,   0, 0]]),
 (0, 1))

행렬 V의 행렬식이 0이고 확대행렬에 대한 rref에서 자유 변수가 존재하므로 자명하지 않은 해를 가집니다. 위 rref에 의하면 피벗열인 v₁, v₂가 기저벡터이므로 이 기저벡터들과 v₃사이의 선형결합(식 1)은 선형독립이 될 것입니다.

$$\begin{bmatrix}0&2\\2&2\\-1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6\\16\\-5 \end{bmatrix}$$

(식 1)

식 1의 확대행렬(augmented matrix)에 대한 rref를 계산하면 다음과 같습니다.

Matrix(V).rref()

(Matrix([
[1, 0, 5],
[0, 1, 3],
[0, 0, 0]]),
(0, 1))

위 결과는 식 1은 선형독립임을 나타냅니다. 결과적으로 v₁과 v₂는 결과벡터 v₃의 스판이 됩니다(식 2).

v3 = Span{v1, v2}

(식 2)

위 예와 같이 벡터 집합에서 어떤 벡터(v_k)가 나머지 벡터들과 선형 독립이면 v_k의 span은 나머지 벡터들이 됩니다. 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

선형 독립과 기저

• v_k = v₁ + v₂ + … + v_p이 성립하고 선형 독립이면
  • → v_k는 동일한 차원의 벡터 공간의 부분공간이 됩니다.
  • → v_k = Span {v₁, v₂, …, v_p}
  • v_k의 span은 기저벡터들입니다.
• 일반화하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
  • ∴ 부분공간 W ≠ 0 → W의 Span은 기저(basis)

예 3)

v₁와 v₂의 모두 기저 벡터임을 결정합니다.

$$v1=\begin{bmatrix} 1\\-2\\3\end{bmatrix} \quad v_2=\begin{bmatrix} -2\\7\\-9\end{bmatrix}$$

v1=np.array([1,-2, 3])
v2=np.array([-2, 7, -9])
V=np.c_[v1, v2]
print(V)

[[ 1 -2]
 [-2  7]
 [ 3 -9]]

Matrix(V).rref()

(Matrix([
 [1, 0],
 [0, 1],
 [0, 0]]),
 (0, 1))

위 결과에 의하면 V의 3행은 시스템에서 필요하지 않음을 나타냅니다. 비록 과잉된 요소들이 존재하지만 v₁와 v₂는 기저입니다. 즉, 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\text{base vector} = \left\{\begin{bmatrix}1\\-2 \end{bmatrix} ,\;\begin{bmatrix} -2\\7\end{bmatrix}\right\}$$

(식 3)

예 4)

다음 행렬 V의 기저 벡터(들)를 결정해 봅니다.

$$V=\begin{bmatrix}1&6&2&-4\\-3&2&-2&-8\\4&-1&3&9 \end{bmatrix}$$

행렬 V를 구성하는 벡터를 1열부터 v₁, v₂, v₃, v₄라고 명명합니다.

V=np.array([[1,6,2,4],[-3,2,-2,-8], [4, -1, 3, 9]])
print(V)

[[ 1  6  2 -4]
 [-3  2 -2 -8]
 [ 4 -1  3  9]]

Matrix(V).rref()

(Matrix([
[1, 0, 4/5,  2],
[0, 1, 1/5, -1],
[0, 0,   0,  0]]),
(0, 1))

rref에서 1과 2열이 피벗 열이므로 선도 변수 2개, 자유 변수 2개를 나타냅니다(기약행 사다리꼴 형태 참조). 즉, 기저 벡터는 첫번째와 두번째 열 즉 v₁, v₂로 두 개입니다. 두 기저벡터들과의 선형결합으로 생성되는 부분공간을 H라고 하면 H의 스판은 식 4와 같이 나타냅니다.

H = Span{v1, v2}

(식 4)

이 기저 벡터들과 나머지 벡터들인 v₃, v₄와 각각 선형결합은 식 5와 같습니다.

\begin{align}v_1:v_2:v_3& = \begin{bmatrix}1&6\\-3&2\\4&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2\\-2\\3\end{bmatrix} \\ v_1:v_2:v_4& = \begin{bmatrix}1&6\\-3&2\\4&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4\\-8\\9\end{bmatrix} \end{align}

(식 5)

V123=V[:,[0,1,2]]
Matrix(V123).rref()

(Matrix([
[1, 0, 4/5],
[0, 1, 1/5],
[0, 0,   0]]),
(0, 1))

V124=V[:,[0,1,3]]
Matrix(V124).rref()

(Matrix([
[1, 0,  2],
[0, 1, -1],
[0, 0,  0]]),
(0, 1))

위 두 결과 모두 유일해를 갖는 것으로 선형 독립임을 나타냅니다.