내용

• 유리함수(Rational Function)
• 점근선(asymptote)

유리함수 그래프와 점근선 그리기

유리함수(Rational Function)

유리함수는 분수형태의 함수를 의미합니다. 예를들어 다음 함수는 분수형태의 유리함수입니다. $$f(x)=\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 6}$$ 분수의 경우 분모가 0인 경우 정의할 수 없습니다. 이와 마찬가지로 유리함수 f(x)의 정의역은 분모가 0이 아닌 부분이어야 합니다. 그러므로 위함수의 정의역은 분모가 0인 부분을 제외한 부분들로 구성됩니다.

sympt=solve(denom(f), a); asympt

[-3, 2]

$$-\infty \lt x \lt -3, \quad -3 \lt x \lt 2, \quad 2 \lt x \lt \infty$$ 이 정의역을 고려해 그래프를 작성을 위한 사용자 정의함수는 다음과 같습니다.

def validX(x, f, symbol): ①
    a=[]
    b=[]
    for i in x:
        try:
            b.append(float(f.subs(symbol, i)))
            a.append(i)
        except:
            pass 
    return(a, b)
    
#x는 임의로 지정한 정의역으로 불연속선점을 기준으로 구분된 몇개의 구간으로 전달할 수 있습니다. 
#그러므로 인수 x는 2차원이어야 합니다. 
def RationalPlot(x, f, sym, dp=100):
    fig, ax=plt.subplots(dpi=dp) # ②
    for k in x:  #③
            x4, y4=validX(k, f, sym)
            ax.plot(x4, y4)
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
    ax.spines['right'].set_visible(False)
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
    ax.spines['top'].set_visible(False)
    hasym=solve(denom(f))  #④
    for i in hasym:  
        try:
            ax.axvline(float(i), linestyle="--", color="red")
        except:
            pass
    vasym=[limit(f, sym, +oo), limit(f, sym, -oo)]  #⑤
    for j in vasym: 
        try:
            ax.axhline(float(j), linestyle="--", color="red")
        except:
            pass

①: 위 함수들에 전달되는 인수 f는 sympy.symbols()를 사용한 수학함수입니다. 임의로 지정한 정의역이 함수 f에 정의될 수 없는 경우가 존재하므로 함수 f에서 정의할 수 있는 정의역 값과 그에 대응하는 y값을 계산하는 사용자정의함수
②: 그래프의 기준축을 x=0, y=0 으로 하기 위해 spine()함수를 사용하기 위해 그래프 작성을 위한 새로운 축 ax를 선언
③: 분모가 0이 되는 지점을 제외하므로 정의역은 두 부분 이상으로 분리됩니다. 그러므로 각 구간의 그래프를 별도로 작성하기 위해 for 반복문을 사용
④: 분모를 0으로 하는 x 값(들)에 대한 수직선을 작성합니다. 이 선을 수직 점근선이라 합니다. 이 x값이 존재하지 않거나 실수가 아닌 경우 수직 점근선을 작성하지 않기 위해 try~except 문을 적용
⑤: 함수를 $x \to \pm \infty$로 하는 경우 특정한 값(y)으로 수렴되는 경우 역시 각 부분 그래프들을 분리할 수 있는 결정선(decision line)을 생성할 수 있습니다. 이를 수평점근선이라 합니다. 위 수직점근선의 경우와 마찬가지로 try~except 문을 적용

from sympy import * 
import matplotlib.pyplot as plt

a=symbols('a', real=True) 
f=(a**2-1)/(a**2+a-6); f

$\quad \color{navy}{\frac{a^{2} - 1}{a^{2} + a - 6}}$

asympt=solve(denom(f), a); asympt

[-3, 2]

x1=np.linspace(-6, -3, 100)
x2=np.linspace(-3, 2, 100)
x3=np.linspace(2, 6, 100)

RationalPlot([x1, x2, x3], f, a)
plt.text(-2.8, 6, 'x=-3', color="red")
plt.text(1, 6, 'x=2', color="red")
plt.axhline(1, linestyle="--", color='black')
plt.text(0.2, 1.2, 'y=1', color="black")
plt.ylim(-7,7)
plt.show()

점근선(asymptote)

유리함수의 경우 정의역이 구분되므로 전체 실수 영역에서 연속이 되지 못합니다. 즉, 불연속점(p)을 기준으로 함수 그래프가 분리되며 각 불연속점에서 $-\infty$ 또는 $\infty$로 발산됩니다. 반대로 정의역 x가 $-\infty$ 또는 $\infty$으로 발산하는 경우 특정한 값으로 수렴됩니다. 위 그림과 같이 이러한 지점에 각 그래프를 분리를 나타낼 수 있는 선을 표시할 수 있습니다. 이러한 선을 점근선이라 합니다. 수직점근선
함수 f(x)의 불연속점 a에서 다음의 특성을 보입니다. $$\begin{aligned}&\lim_{x \to a^+}f(x)= -\infty\; \text{또는} \;\infty \\ &\lim_{x \to a^-}f(x)= -\infty\; \text{또는} \;\infty \end{aligned}$$ 수평점근선
함수 f(x)의 정의역이 분리되는 경우 정의역이 무한대로 발산되면 불연속점 a로 수렴되는 특성을 보입니다. $$\begin{aligned}&\lim_{x \to \infty}f(x)= a \\ &\lim_{x \to -\infty}f(x)= a \end{aligned}$$ 수직선이나 수평선 외에 임의의 직선에 의해 함수의 그래프가 분리되는 경우 그 직선 역시 점근선이 됩니다. 위 그래프의 붉은 점선은 수직 점근선이 됩니다.

x1=np.linspace(-6, -3, 100)

(oo, -oo)

x2=np.linspace(-3, 2, 100)

(-oo, oo)

위 그래프의 검은 점선은 수평 점근선이 됩니다.

x3=np.linspace(2, 6, 100)

(1, 1)

이외에도 유리함수가 대분수 일 경우 즉, 분자의 차수가 분모의 차수보다 클 경우 그래프들을 분리할 수 있는 수직, 수평 점근선외에 특정한 직선식을 가진 점근선이 존재합니다. 예를 들어 다음 유리함수의 경우 $x \to \pm \infty$ 에서 대응하는 극한 값은 발산합니다. $$f(x)=\frac{x^{2} - 4}{x - 1}$$

f1=apart(f); f1

$\quad \color{blue}{x + 1 - \frac{3}{x - 1}}$
위 결과에 대한 극한은 다음과 같이 계산됩니다. $$\lim_{x \to \pm \infty}(x + 1) - \frac{3}{x - 1}=\lim_{x \to \pm \infty}(x + 1) -\lim_{x \to \pm \infty}\frac{3}{x - 1}=\lim_{x \to \pm \infty}(x + 1) +0=\infty $$ 위 결과는 y=x+1의 직선에 의해 발생하며 함수 f(x)의 그래프들을 분리하는 결정선이 됩니다. 이러한 선을 경사점근선(slant asymptot)라고 합니다.

a=np.linspace(-5, 5, 100)
RationalPlot([a], f, x)
plt.plot(a, a+1)
plt.ylim(-20, 20)
plt.text(1.5, 15, 'x=1', color="red", weight="bold")
plt.text(2, 5, 'y=x+1', color="orange", weight="bold")
plt.show()