[Linear Algebra] 좌표 벡터(Coordinate vector)

좌표 벡터(Coordinate vector)

선형 결합이 자명한(trivial)해를 갖는다면 그 시스템의 모든 열벡터는 기저(basis)가 되며 스판의 요소가 됩니다. 그러므로 기저벡터들과 선형 결합으로 생성되는 부분공간 $W_x$에 대한 스판을 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align} W_x&= b_1x_1 + b_2x_2 + \cdots + b_px_p\\ &= Bx\\ B &= \{b_1, b_2, \cdots, b_p\} \end{align}

(식 1)

식 1은 행렬 B와 변수 벡터와의 선형결합을 나타냅니다. 행렬 B의 각 열벡터가 기저벡터라면 변수벡터는 유일한 벡터가 되며 결과인 $W_x$는 기저벡터들로 구성된 행렬 B로 이루어진 벡터 공간의 부분 공간이 됩니다. 즉, 행렬 B의 각 열벡터는 부분 공간 $W_x$의 스판(span)이 됩니다(식 2).

$$ W_x= \text{Span} \{b_1, b_2, \cdots, b_p\}$$

(식 2)

예 1)

벡터들 v₁, v₂들은 벡터 c의 기저 벡터입니까?

$$v_1=\begin{bmatrix}3\\6\\2 \end{bmatrix}, \quad v_2= \begin{bmatrix}-1\\0\\1 \end{bmatrix}, \quad c=\begin{bmatrix}3\\12\\7 \end{bmatrix}$$

위 벡터들의 선형결합은 다음과 같습니다.

\begin{align}3x_1-x_2&=3\\6x_1-0x_2&=12\\2x_1-x_2&=7 \end{align}

import numpy as np 
import numpy.linalg as la
from sympy
import matplotlib.pyplot as plt

v1=np.array([3, 6, 2])
v2=np.array([-1, 0, -1])
c=np.array([3, 12, 7])
aug=np.c_[v1, v2, c]
print(aug)

[[ 3 -1  3]
 [ 6  0 12]
 [ 2 -1  7]]

다음은 확대행렬로서 rref를 조사합니다.

Matrix(au).rref()

(Matrix([
 [1, 0, 2],
 [0, 1, 3],
 [0, 0, 0]]),
 (0, 1))

위 결과와 같이 이 시스템은 선형독립이지만 마지막 행은 이 시스템에 영향을 주지 못합니다. 그러므로 기저벡터는 $v_1,\; v_2$입니다. 위의 해벡터와 함께 선형결합 Vx=c는 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align}W(c)&=\left\{\begin{bmatrix}3\\6 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}-1\\0 \end{bmatrix}\right\}\\ & \begin{bmatrix}3&-1\\6&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\12\end{bmatrix}\end{align}

(식 3)

위 시스템은 벡터 [2, 3]을 표준행렬에 의해 이동시킨 결과가 벡터 [3, 12]가 됨을 의미합니다. 다시말하면 표준행렬에 의해 벡터 [2, 3]을 벡터 [3, 12]로 변환한 것입니다. 이 관계에서 변환전의 벡터를 좌표벡터 또는 간단하 좌표라고 합니다. 이를 일반화하면 식 4와 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align}\text{Base}\cdot c& =r\; \Leftrightarrow \;r_\text{base}=c\\ c:&\;\text{좌표벡터} \end{align}

(식 4)

식 4에서 나타낸 것과 같이 좌표벡터(coordinate vector)의 변환을 위해 고려되는 표준행렬은 기저벡터로 구성됩니다. 즉, 좌표벡터는 선형독립 시스템의 벡터를 의미합니다.

예 2)

다음 두 개의 벡터 공간 S, T는 각각 기저 벡터들입니다. 이 두 집합 관계 S_T = X가 되기 위한 X를 계산해 봅니다.

\begin{align}S&=\left\{\begin{bmatrix} 6\\3\\3\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}4\\-1\\3 \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 5\\5\\2\end{bmatrix}\right\}\\ T&=\left\{\begin{bmatrix} 2\\0\\1\end{bmatrix},\; \begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}\right\}\end{align}$

T와 S로 구성되는 선형결합(식 5)에서의 해집합을 결정하는 것입니다.

\begin{align}TX&=S\\ \begin{bmatrix} 2&1&1\\0&2&1\\1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} 6&4&5\\3&-1&5\\3&3&2\end{bmatrix}\end{align}

(식 5)

T=np.array([[2,1,1],[0,2,1],[1,0,1]])
S=np.array([[6, 4, 5],[3, -1, 5],[3, 3, 2]])
la.det(T)==0

False

X=la.solve(T, S)
print(X)

[[ 2.  2.  1.]
 [ 1. -1.  2.]
 [ 1.  1.  1.]]

위 결과 행렬의 각 열벡터는 S의 좌표벡터가 됩니다. 식 6과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$S_T=X=\begin{bmatrix}2&2&-1\\1&-1&2\\1&1&1 \end{bmatrix}$$

(식 6)

식 6에서 나타낸 것과 같이 좌표행렬 X는 기저행렬 T에 의해 S로 변환된 것입니다. 행렬 T와 같이 좌표행렬의 변환 또는 전이를 일으키는 행렬을 전이행렬(transition matrix)라고 합니다. 즉, 선형독립인 식에서 기저인 표준행렬은 전이행렬이 됩니다.