동차 선형결합(Homogeneous Linear Combination)

동차선형결합(Homogeneous Linear Combination)은 선형 결합에서 상수 벡터가 0 벡터인 경우입니다. 즉, 표준 행렬 A와 변수 벡터 x 사이에 식 1이 성립합니다.

Ax = 0

(식 1)

동차 선형 결합에서 갖는 해는 두 종류로 구분할 수 있습니다.

그러므로 동차 선형결합에서 최소 한개 이상의 자유변수(Free variable)를 가진다면 하나 이상의 다양한 해를 가지는 것을 의미하는 것으로 자명하지 않은 해(nontrivial solution)를 가지는 시스템이 됩니다.

예 1)

다음은 동차 선형결합입니다. 이 결합의 해를 계산해봅니다.

\begin{align} 3x_1 + 5x_2 - 4x_3 &= 0\\ -3x_1 - 2x_2 + 4x_3 &= 0\\ 6x_1 + x_2 - 8x_3 &= 0\end{align}

위 각 식의 계수들을 행렬로 표현하는 표준행렬(A)을 다음과 같습니다. 위 식의 수와 각 식의 계수의 수가 같습니다. 즉 다음 결과와 같이 표준행렬(A)은 정방행렬입니다. 이 행렬의 역행렬 존재 여부를 판단하기 위해 행렬식을 조사해 봅니다.

A=np.array([[3, 5, -4],[-3, -2, 4],[6, 1, 8]])
print(A)

[[ 3  5 -4]
 [-3 -2  4]
 [ 6  1  8]]

la.det(A)

144.0

행렬식이 0이 아니므로 가역행렬입니다. 즉, 역행렬에 의한 각 변수의 해를 계산할 수 있습니다. 이 경우 즉, 표준행렬이 가역행렬인 경우 그 해는 numpy.linalg.solve() 함수로 계산할 수 있습니다.

b=np.array([[0],[0],[0]])
print(la.solve(A, b))

[[0.]
 [0.]
 [0.]]

세 개의 미지수의 해는 모두 0입니다. 즉, 유일한 해인 자명한 해를 가집니다. 이 결과는 기약행사다리꼴을 적용한 결과와 같습니다.

Ab=np.c_[A,b]
print(Ab)

[[ 3  5 -4  0]
 [-3 -2  4  0]
 [ 6  1  8  0]]

Matrix(Ab).rref()

(Matrix([
 [1, 0, 0, 0],
 [0, 1, 0, 0],
 [0, 0, 1, 0]]),
 (0, 1, 2))

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