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[Linear Algebra] 열공간(Column Space)과 행공간(row space)

열공간(Column Space)과 행공간(row space)

m×n 형태의 행렬 A의 기저(Basis) 벡터들의 집합을 열공간(column space)라고 하며 Col A로 나타냅니다.

예 1)

다음 표준 행렬 A의 열공간을 계산해봅니다.

$$\begin{bmatrix} -3&6&-1&1&-7\\1&-2&2&3&1\\2&-4&5&8&-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\0\\0\end{bmatrix}$$

위 식을 일반 선형시스템으로 나타내면 식 1과 같습니다.

\begin{align}3x_1 + 6x_2 - x_3 + x_4 - 7x_5&= 0\\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 + 3x_4 + x_5& = 0\\ 2x_1 - 4x_2 + 5x_3 + 8x_4 - 4x_5& = 0\end{align}(식 1)
A=np.array([[-3, 6, -1, 1, -7],[1,-2,2,3,-1],[2, -4, 5, 8, -4]])
c=np.zeros([3,1])
Matrix(np.hstack([A,c])).rref()
(Matrix([
 [1, -2.0, 0, -1.0,  3.0, 0],
 [0,    0, 1,  2.0, -2.0, 0],
 [0,    0, 0,    0,    0, 0]]),
 (0, 2))

행렬 A의 기약행사다리꼴에서 0과 2열이 피봇열(pivot column)입니다. 즉, 두 열벡터가 기저 벡터가 되며 이 기저 벡터들과 나머지 벡터들과의 선형 독립이 성립됩니다. 이 관계를 확인해 봅니다.

먼저 2열의 벡터와의 선형결합을 조사합니다.

#기저벡터
A_b=A[:,[0, 2]]
#Ab=A의 1열
A_bA1=np.hstack([A_b, A[:,1].reshape(-1,1)])
Matrix(A_bA1).rref()
(Matrix([
[1, 0, -2],
[0, 1,  0],
[0, 0,  0]]),
(0, 1))

위 결과는 선형독립임을 나타냅니다. 위와 같은 방법으로 3과 4열에 대한 선형결합을 조사하면 다음과 같습니다.

A_bA3=np.hstack([A_b, A[:,3].reshape(-1,1)])
Matrix(A_bA3).rref()
(Matrix([
[1, 0, -1],
[0, 1,  2],
[0, 0,  0]]),
(0, 1))
A_bA4=np.hstack([A_b, A[:,4].reshape(-1,1)])
Matrix(A_bA4).rref()
(Matrix([
[1, 0,  3],
[0, 1, -2],
[0, 0,  0]]),
(0, 1))

위의 모든 선형결합은 선형독립입니다. 즉, A1, A3, A4 벡터들은 모두 A0, A2 벡터를 스판으로 하는 부분공간입니다. 결과적으로 행렬 A에서 기저 벡터는 A0, A2이며 이들이 열공간(columnspace)이 됩니다.

행렬의 열공간은 sympy의 columnspace() 함수에 의해 확인할 수 있습니다.

for i in Matrix(A).columnspace():
    print(i)
Matrix([[-3], [1], [2]])
Matrix([[-1], [2], [5]])

위 결과 즉, 행렬 A의 열공간은 식 2와 같이 나타냅니다.

$$\text{Col A = span}\left\{\begin{bmatrix}-3\\1\\2\end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1\\2\\5\end{bmatrix} \right\}$$(식 2)

위 결과는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

열공간(column space)
  • 선형 결합의 표준행렬에서 기저벡터들의 집합
  • 표준 행렬의 기약행사다리꼴에서 피벗 열에 대응하는 열벡터들
  • 기저벡터의 수가 열공간의 차원이 됩니다.

예 2)

벡터 집합 W의 열공간을 계산해 봅니다.

$$W=\left\{6a-b\\a+b\\-7a \right\}$$

W는 식 3과 같이 표준행렬 A와 변수벡터 x의 내적곱으로 나타낼수 있습니다.

\begin{align}& A=\begin{bmatrix}6&-1\\1&1\\-7&0\end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}\\&\begin{bmatrix}6&-1\\1&1\\-7&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\end{align}(식 3)

행렬 A의 모든 열 벡터들이 열공간 즉, 기저라면 x와의 동차선형결합은 선형독립입니다.

A=np.array([[6,-1],[1,1],[-7,0]])
c=np.zeros([3,1])
Matrix(np.hstack([A,c])).rref()
(Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 0]]),
(0, 1))

위 결과와 같이 행렬 A의 모든 열 벡터들은 기저가 되므로 열공간 Col A가 됩니다. Col A는 식 4와 같이 두 개의 기저 벡터들로 구성된 스판으로 나타낼 수 있습니다.

$$\text{Col A}=\text{span} \left\{\begin{bmatrix}6\\1\\-7 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}-1\\1\\0 \end{bmatrix}\right\}$$(식 4)
for i in Matrix(A).columnspace():
    print(i)
Matrix([[6], [1], [-7]])
Matrix([[-1], [1], [0]])

행렬을 전치시키면 원래 행렬의 열벡터는 행벡터가 된다. 이러한 경우 전치시키기 전의 열공간은 전치시킨 후의 행공간이 됩니다. 행렬 A의 행공간(row space)은 Row A로 나타냅니다.

예 3)

다음 행렬 M의 열공간을 결정해 봅니다.

$$M=\begin{bmatrix}-2& -5& 8& 0& -17\\1& 3& -5& 1& 5\\3& 11& -19& 7& 1\\1& 7& -13& 5& -3\end{bmatrix}$$

M=np.array([[-2,-5, 8, 0, -17], [1, 3, -5, 1, 5], [3, 11, -19, 7, 1], [1, 7, -13, 5, -3]])
print(M)
[[ -2  -5   8   0 -17]
 [  1   3  -5   1   5]
 [  3  11 -19   7   1]
 [  1   7 -13   5  -3]]

열공간은 행렬 M의 동차시스템에 대한 확대행렬의 기약 행 사다리꼴(rref)를 사용하여 결정할 수 있습니다. 

c=np.zeros([4, 1])
au=np.hstack([M, c])
Matrix(au).rref()
(Matrix([
[1, 0,  1.0, 0,  1.0, 0],
[0, 1, -2.0, 0,  3.0, 0],
[0, 0,    0, 1, -5.0, 0],
[0, 0,    0, 0,    0, 0]]),
(0, 1, 3))

위 결과에서 0, 1, 3열 벡터가 피벗 열이므로 이들에 대응하는 벡터들이 열공간이 됩니다.

for i in Matrix(M).columnspace():
    print(i)
Matrix([[-2], [1], [3], [1]])
Matrix([[-5], [3], [11], [7]])
Matrix([[0], [1], [7], [5]])

위 열벡터들은 기저 벡터가 되며 나머지 열벡터들과 선형독립입니다. 기저벡터들과 나머지 벡터들 사이의 생성되는 선형결합은 모두 선형독립이며 각가 3개의 기저벡터를 가질 것입니다. 행렬에서 기저벡터의 수는 급수(rank)로 나타내며 numpy.linalg.matrix_rank() 함수로 계산할 수 있습니다.

la.matrix_rank(np.hstack([M[:,[0,1,3]], M[:,2].reshape(-1,1)]))
3

행렬 M에 대한 선형결합의 변수 x0, x1, x3는 x2 및 x4에 의존하며 모든 해집합은 식 5와 같이 표현 될 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-x_3-x_5\\2x_3-3x_5\\x_3\\5x_4\\x_5\end{bmatrix}= x_3\begin{bmatrix}-1\\2\\1\\0\\5 \end{bmatrix}+ x_5\begin{bmatrix}-1\\-3\\0\\5\\1\end{bmatrix}$$(식 5)

식 5의 마지막 오른쪽 식의 두 벡터들은 영공간이 됩니다. 즉,해집합의 기저입니다.

for i in Matrix(M).nullspace():
    print(i)
Matrix([[-1], [2], [1], [0], [0]])
Matrix([[-1], [-3], [0], [5], [1]])

예 4)

다음 표준행렬 A의 열공간에 p의 포함 여부를 결정해 봅니다.

$$A=\begin{bmatrix}-3&-2&0\\0&2&-6\\6&3&3\end{bmatrix}\quad p=\begin{bmatrix}1\\14\\-9\end{bmatrix}$$

A=np.array([[-3,-2, 0], [0, 2, -6],[6, 3, 3]])
p=np.array([[1], [14], [9]])
Ap=np.hstack([A, p])
print(Ap)
[[-3 -2  0  1]
 [ 0  2 -6 14]
 [ 6  3  3  9]]
Matrix(Ap).rref()
(Matrix([
[1, 0,  2, 0],
[0, 1, -3, 0],
[0, 0,  0, 1]]),
(0, 1, 3))

위 결과와 같이 표준행렬 A와 벡터 p를 결합할 경우 기약 행 사다리꼴은 p가 피벗열임을 나타냅니다. 즉, p는 행렬 A와 결합에서 기저벡터가 되므로 열공간에 포함됨을 의미합니다.

예 5)

다음 행렬 A의 영공간과 열공간은 각각 ℝp와 ℝq의 부분 공간입니다. p와 q를 결정해 봅니다.

$$\begin{bmatrix}3&2& 1& -5\\-9& -4& 1& 7\\9& 2& -5& 1\end{bmatrix}$$

A=Matrix([[3,2, 1, -5], [-9, -4, 1, 7], [9, 2, -5, 1]])
A.rref()
(Matrix([
[1, 0, -1,  1],
[0, 1,  2, -4],
[0, 0,  0,  0]]),
(0, 1))

행렬 A는 2개의 피벗열과 2개의 자유변수를 포함합니다. 그 두 개에 자유변수에 대응하는 벡터들이 영공간이 됩니다. 영공간은 자유변수들로 구성된 선형시스템의 기저벡터(들)를 의미합니다. 즉, 그 수가 영공간의 차원이 되므로 p는 2입니다. 

for i in A.nullspace():
    print(i)
Matrix([[1], [-2], [1], [0]])
Matrix([[-1], [4], [0], [1]])

행렬 A의 열공간은 선형결합에서의 기저벡터(들)을 나타내며 그 수가 열공간의 차원이 됩니다. 그러므로 q는 2가 됩니다. 

for i in A.columnspace():
    print(i)
Matrix([[3], [-9], [9]])
Matrix([[2], [-4], [2]])

p = 2, q = 2이므로 Nul A, Col A 모두 2차원의 부분공간입니다.

Nul A ⊂ ℝ2, Col A ⊂ ℝ2

예 6)

x2 = x3인 ℝ4의 부분 공간의 기저를 결정합니다.

\begin{align}0x_1+x_2-x_3+0x_4&=0\\\Rightarrow \begin{bmatrix}0&1&-1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}&=0\end{align}

4개의 변수를 가진 식에서 x2 = x3은 식 6과 같이 벡터로 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_2\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1\\x_3\\x_3\\x_4\end{bmatrix}$$(식 6)

식 6의 우항을 표준 행렬 S라고 하면 식 7과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$S=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}$$(식 7)

각 행렬의 피벗열이 기저 벡터가 됩니다. 식 6의 우항의 첫번째와 두번째 행렬을 각각 S1, S2라고 하면 각각의 기약 행 사다리꼴로 부터 피벗열을 결정하면 다음과 같습니다. 

S1=np.array([[1, 0, 0, 0], [0, 1,0, 0], [0,1,0,0],[0,0,0,1]])
Matrix(S1).rref()
(Matrix([
[1, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 1],
[0, 0, 0, 0]]),
(0, 1, 3))
S2=np.array([[1, 0, 0, 0], [0,  0, 1, 0], [0, 0, 1,0],[0,0,0,1]])
Matrix(S2).rref()
(Matrix([
[1, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 1],
[0, 0, 0, 0]]),
(0, 2, 3))

위 결과로 S는 3개의 기저벡터를 가지므로 이들이 S의 span이 됩니다 (식 8).

$$\text{S = span}\left\{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0\\1\\1\\0\end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}\right\}$$(식 8)

이 결과는 예제의 표준행렬의 영공간(nullspace)이 됩니다. 

A=np.array([[0, 1, -1, 0]])
for i  in Matrix(A).nullspace():
    print(i)
Matrix([[1], [0], [0], [0]])
Matrix([[0], [1], [1], [0]])
Matrix([[0], [0], [0], [1]])

예 7)

3×5 형태의 행렬 A는 3개의 피벗열을 가집니다. 이 경우 열공간의 차원과 영공간을 차원을 결정합니다.

행렬 A의 피벗열은 그 행렬의 기저 벡터가 되고 열공간이 됩니다. 그러므로 ℝ3이 됩니다. 영공간은 행렬 A의 모든 해집합의 기저입니다. 이것은 A의 자유변수의 수와 같으므로 영공간의 차원은 2가 됩니다. 즉, ℝ2가 됩니다.

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