[data analysis] 정규분포(Normal Distribution)

정규분포(Normal (Gaussian) Distribution)

여러 현상들에 대해 큰 규모의 자료를 조사하면 그림 1과 같이 평균에서 가장 높은 확률을 보이며 그 평균을 중심으로 양쪽으로 같은 정도로 확률 감소를 보이는 종 모양의 형태를 보입니다. 이러한 분포를 정규분포(normal Distribution)라고 합니다. 특히 큰 규모의 확률변수들에 대한 분포는 그 변수들의 조건에 상관없이 정규분포에 근접하기 때문에 데이터들의 여러 특성들을 연구하는데 중심이 되는 분포입니다.

그림 1. 정규분포에서 확률과 표준편차의 관계.

x=np.linspace(-4, 4, 100)
p=stats.norm.pdf(x)
nme=[r"-2.56$\sigma$", r"-1.96$\sigma$", r"$\sigma$", r'$\mu$', r"$\sigma$", r"1.96$\sigma$", r"2.56$\sigma$"]
x1=np.linspace(-1, 1, 100)
x21=np.linspace(-1.96, -1, 100)
x22=np.linspace(1, 1.96, 100)
x31=np.linspace(-2.56, -1.96, 100 )
x32=np.linspace(1.96, 2.56, 100)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(9,3))
ax.plot(x, p, color="r")
ax.fill_between(x1, stats.norm.pdf(x1), color="g", alpha=0.3, label="68%")
ax.fill_between(x21, stats.norm.pdf(x21), color="b", alpha=0.3, label="95%")
ax.fill_between(x22, stats.norm.pdf(x22), color="b", alpha=0.3)
ax.fill_between(x31, stats.norm.pdf(x31), color="brown", alpha=0.3, label="99%")
ax.fill_between(x32, stats.norm.pdf(x32), color="brown", alpha=0.3)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("Probability")
ax.set_xticks(ticks=[-2.56, -1.96, -1, 0, 1, 1.96, 2.56], labels=nme)
ax.set_title("Normal Distribution")
ax.legend(loc="best")
plt.show()

그림 1과 같이 정규분포는 가장 높은 확률을 보이는 평균을 중심으로 양쪽이 대칭인 형태를 보입니다. 그러므로 이 분포의 평균, 최빈값, 중앙값이 모두 같습니다. 또한 이 분포의 총 면적은 1이 됩니다.

정규분포의 두 가지 특성을 사용하여 특정 구간의 누적확률은 쉽게 계산할 수 있습니다. 예를 들어 표 1에서 나타낸 것과 같이 분포의 평균과 표준편차를 사용하여 일정한 영역의 누적확률을 결정할 수 있습니다.

표 3.2.1 정규분포에서 일정구간의 누적확률

구간	누적확률
μ ± σ	0.68
μ ± 1.96σ	0.95
μ ± 2.56σ	0.99

결과적으로 정규분포에서 평균과 분산은 각각 분포의 중심 위치(location)과 규모(scale)를 결정하는 통계량입니다.

일반적으로 데이터의 규모가 클수록 정규분포에 적합해집니다. 그림 2는 랜덤 샘플의 크기에 따른 히스토그램과 정규분포의 부합정도를 나타낸 것입니다.

그림 2. 샘플의 크기에 따른 분포의 변화.

x=np.sort(stats.norm.rvs(size=50, random_state=3))
y=stats.norm.pdf(x)
x2=np.sort(stats.norm.rvs(size=1000, random_state=3))
y2=stats.norm.pdf(x2)
fig, (ax1, ax2)=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(8, 3))
ax1.hist(x,bins=10, density=True, rwidth=0.8, label="size=50")
ax1.plot(x, y, color="r", label="N(0,1)")
ax1.set_xlabel("x")
ax1.set_ylabel("probability")
ax1.legend(loc="best")
ax2.hist(x2,bins=10, density=True, rwidth=0.8, label="size=1000")
ax2.plot(x2, y2, color="r", label="N(0,1)")
ax2.set_xlabel("x")
ax2.legend(loc="best")
plt.show()

그림 2와 같이 샘플의 크기가 증가할수록 정규분포에 적합해지는 현상을 중심극한정리(Central Limit Theorem, CLT)라 합니다. 이 정리를 사용하여 분포를 특정할 수 없는 다양한 자료들의 통계분석의 근거를 제공합니다.

그림 3과 같이 정규분포의 전체적인 형상은 정규분포의 모수(parameter)인 평균과 분산에 의해 결정됩니다.

그림 3. 정규분포의 형상에 미치는 (a) 평균과 (b) 표준편차의 영향.

x=np.sort(stats.norm.rvs(size=1000, random_state=3))
y=stats.norm.pdf(x)
mu=[-2, 0, 1, 2]
sigma=[1, 1.5, 2, 2.5]
col=["r",'b', 'g','orange']
fig, (ax1, ax2)=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(8, 3))
for i in range(4):
    ax1.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu[i], 1), color=col[i], label=f"N({mu[i]},1)")
    ax2.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, sigma[i]), color=col[i], label=f"N(0, {sigma[i]})")
ax1.set_xlabel("x, (a) Change in $\mu$", loc="right")
ax1.set_ylabel("probability")
ax1.set_ylim(0, 0.7)
ax1.vlines(0, 0, 0.7, color="k", alpha=0.3)
ax1.legend(loc="best", frameon=False)
ax2.set_xlabel("x, (b) Change in $\sigma$", loc="right")
ax2.legend(loc="best", frameon=False)
ax2.set_ylim(0, 0.42)
ax2.vlines(0, 0, 0.42, color="k", alpha=0.3)
plt.show()

그림 3에서 나타낸 것과 같이 정규분포의 형태는 평균(μ)과 분산(σ²)에 의존합니다. 정규분포의 표현과 두 모수(parameter)들로 정의된 확률밀도함수는 식 1과 같습니다.

X ~ N(μ, σ2)	(식 1)
\begin{align}f(x)&=\frac{1}{2\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\\& -\infty \lt x \lt \infty\end{align}

정규분포를 따르는 변수는 식 2와 같이 표준화(standardization)하여 평균 0, 분산 1인 새로운 변수 Z으로 변환할 수 있습니다. 변환된 Z을 표준점수(Z score)라고 합니다.

$$Z = \frac{X − μ_x}{\sigma_x}$$

(식 2)

정규분포를 따르는 모든 자료는 Z score로 변환할 수 있으며 이 변환된 자료의 분포는 고정된 평균과 분산을 가집니다. 이 분포를 표준정규분포(Standard Normal Distribution)라 하며 이 분포의 표현과 확률밀도함수는 식 3과 같이 정의됩니다.

\begin{align}Z&\sim N(0, 1)\\f(z)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right) \end{align}

(식 3)

정규분포를 따르는 확률변수는 scipy.stats 모듈의 zscore()함수를 사용하여 의 표준화 할 수 있습니다. 또한 표준화는 sklearn.preprocessing 모듈의 StandardScaler() 클래스를 적용할 수 있습니다.

표준정규분포의 평균과 분산은 각각 0, 1입니다. 그 통계량은 기대값과 분산의 정의를 사용하여 확인해 볼 수 있습니다.

z=symbols('z', real=True)
f=1/sqrt(2*pi)*exp(-z**2/2)
E=integrate(z*f, (z, -oo, oo)); E

0

Ex2=integrate(z**2*f, (z, -oo, oo)); Ex2

1

var=Ex2-E**2; var

1

정규분포의 pdf는 stats.norm 클래스의 .pdf(x, loc=0, scale=1) 메소드에 의해 계산할 수 있습니다. 이 메소드에서 x는 확률변수값이고 loc와 scale은 각각 평균과 표준편차을 나타냅니다. 표준정규분포의 경우 평균과 표준편차는 0 과 1로서 이 메소드의 기본값입니다. 그림 4는 표준정규분포의 곡선을 나타낸 것으로 평균 0을 기준으로 대칭이 됨을 나타냅니다.

그림 4. 표준정규분포.

x=np.linspace(-3, 3, 100)
y=stats.norm.pdf(x)
fig, ax=plt.subplots(figsize=(4,3))
ax.plot(x, y, color="g", label="N(0, 1)")
ax.fill_between(x1, stats.norm.pdf(x1), color="b", alpha=0.3, label="50%")
ax.fill_between(x2, stats.norm.pdf(x2), color="g", alpha=0.3, label="50%")
ax.set_xlabel("x", loc="right")
ax.set_ylabel("pdf", loc="top")
ax.set_yticks([0.1, 0.2, 0.3, 0.4])
ax.spines["right"].set_visible(False)
ax.spines["top"].set_visible(False)
ax.spines["left"].set_position("center")
ax.spines["bottom"].set_position(('data', 0))
ax.legend(loc="upper left", frameon=False)
ax.text(1, 0.3, r"f(x)=$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}$", color="g", size="12")
x1=np.linspace(-3, 0, 100)
x2=np.linspace(0, 3, 100)
plt.show()