[Linear Algebra] 정규직교(Orthonormal)

정규직교(Orthonormal)

서로 직교하는 단위 벡터들을 정규 직교(orthonormal)라고 하며 기저 벡터가 됩니다. 정규직교 집합 {u₁, u₂, …, u_p}은 직교 벡터들의 선형결합으로 생성된 부분공간(W)의 스판이 됩니다. 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다.

$\begin{matrix} (식 1) & W = span {u_{1}, u_{2}, \dots, u_{p}} \end{matrix}$

이 벡터들의 선형 결합은 선형 독립이므로 자명한(trivial) 해를 가집니다. 결과적으로 정규직교 집합은 W의 정규직교 기저(orthonormal basis)가 됩니다.

정규직교 집합은 정규직교기저가 됩니다.

예 1)

다음 세 벡터들은 ℝ³의 정규직교 기저인지를 결정합니다.

$v_{1} = [\begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}} \\ \frac{1}{\sqrt{11}} \end{matrix}] v_{2} = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{matrix}] v_{3} = [\begin{matrix} - \frac{1}{\sqrt{66}} \\ - \frac{4}{\sqrt{66}} \\ - \frac{7}{\sqrt{66}} \end{matrix}]$

v1=np.array([3/11**0.5, 1/11**0.5, 1/11**0.5]).reshape(3,1)
v2=np.array([-1/6**0.5, 2/6**0.5, 1/6**0.5]).reshape(3,1)
v3=np.array([-1/66**0.5, -4/66**0.5, 7/66**0.5]).reshape(3,1)
for i, j in enumerate([v1, v2, v3 ]): 
    print(F" v{i+1}의 norm: {np.around(la.norm(j),1)}")

 v1의 norm: 1.0
 v2의 norm: 1.0
 v3의 norm: 1.0

V=[v1,v2,v3]
for i, j in itertools.combinations([1,2,3], 2):
    print(f"v{i}와 v{j}의 inner: {np.around(V[i-1].T.dot(V[j-1]), 6)}")

v1와 v2의 inner: [[0.]]
v1와 v3의 inner: [[0.]]
v2와 v3의 inner: [[0.]]

위 결과에 의하면 세 벡터는 모두 정규직교 벡터입니다. 그러므로 ℝ³의 기저가 됩니다. 세 벡터의 선형결합이 선형독립임을 판단하는 것으로 기저임을 확인할 수 있습니다.

V=np.hstack([v1,v2,v3])
print(np.around(V,3))

 [[ 0.905 -0.408 -0.123]
 [ 0.302  0.816 -0.492]
 [ 0.302  0.408  0.862]]

표준행렬이 정방행렬이고 선형독립인 경우 역행렬이 존재합니다. 즉, 행렬식이 0이 아닙니다.

la.det(V).round(3)

1.0

V_inv=la.inv(V)
print(V_inv.round(3))

V_inv=la.inv(V)
print(V_inv.round(3))

위 결과는 표준행렬 V의 모든 열은 피벗열임을 의미합니다.

Matrix(V).rref()

 (Matrix([
[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]]),
(0, 1, 2))

위 결과에서 암시되는 것과 같이 표준행렬 V의 역행렬은 V의 전치행렬과 같습니다. 이것은 정규직교 벡터들로 구성된 행렬의 특성입니다.

print(np.isclose(V.T, la.inv(V)))

[[ True  True  True]
[ True  True  True]
[ True  True  True]]

정규직교의 특성

식 2가 성립되는 m×n 행렬 U의 열벡터들은 정규직교 벡터의 집합이 됩니다.

$\begin{matrix} (식 2) & U^{T} U = I \Leftrightarrow U^{T} = U^{- 1} \end{matrix}$

또한 정규 직교 벡터들로 구성된 m×n 행렬 U와 ℝⁿ 차원의 벡터 x, y 사이에 식 3이 성립합니다.

$\begin{aligned} (식 3) & ‖ U x ‖ & = ‖ x ‖ \\ (U x) \cdot (U y) & = x y \\ x \cdot y = 0 & \to (U x) \cdot (U y) = 0 \end{aligned}$

식 2의 특성은 정규직교 벡터들을 판단하기 위해 사용됩니다. 정규직교 벡터 a, b, 그리고 c로 구성되는 정규직교행렬 U(식 4)를 사용하여 그 특성을 확인합니다.

$\begin{aligned} (식 4) & a = [\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}] b = [\begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}] c = [\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{array}] \\ U = [\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}] \end{aligned}$

행렬 U는 정규직교행렬이므로 $U^{T} \cdot U = I$ 이 성립합니다(식 5).

$\begin{aligned} (식 5) & [\begin{array}{c} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}] [\begin{array}{c} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} & a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} & a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} \\ a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} & b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} & b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3} \\ a_{1} c_{1} + a_{2} c_{2} + a_{3} c_{3} & b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3} & c_{1}^{2} + c_{2}^{2} + c_{3}^{2} \end{array}] \\ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}$

식 5는 식 6과 같이 정리됩니다.

$\begin{aligned} (식 6) & [\begin{array}{c} a^{T} a & a^{T} b & a^{T} c \\ a^{T} b & b^{T} b & b^{T} c \\ a^{T} c & b^{T} c & c^{T} c \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \\ \Rightarrow {\begin{cases} a^{T} a = b^{T} b = c^{T} c = 1 \\ a^{T} b = a^{T} c = b^{T} c = 0 \end{cases} \end{aligned}$

위 정규직교의 특성 중 식 3은 다음 예로 확인합니다.

예 2)

정규 직교 행렬 U에 대해 식 3의 성립 여부를 조사해 봅니다.

$U = [\begin{matrix} \sqrt{\frac{1}{2}} & \frac{2}{3} \\ \sqrt{\frac{1}{2}} & - \frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{matrix}]$

U=np.array([[1/2**0.5, 2/3], [1/2**0.5, -2/3], [0, 1/3]])
print(np.around(U, 3))

[[ 0.707  0.667]
[ 0.707 -0.667]
[ 0.     0.333]]

print(np.dot(U.T, U).round(3))

[[1. 0.]
 [0. 1.]]

x=np.array([[2**0.5],[3]])
y=np.array([[4], [6]])
Ux=np.dot(U,x)
Uy=np.dot(U, y)
#‖Ux‖=‖x‖
la.norm(Ux)==la.norm(x)

True

#(Ux)·(Uy)=x·y
UxUy=np.dot(Ux.T,Uy)
print(UxUy)

[[23.65685425]]

xy=np.dot(x.T,y)
print(xy)

[[23.65685425]]

np.allclose(UxUy, xy)

True

예 3)

다음 행렬 U는 직교 행렬입니까?

$U = [\begin{matrix} 3 & - 4 & 0 \\ 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]$

U=np.array([[3, -4, 0],[4, 3, 0],[0,0,5]], dtype=np.float64)
print(U)

[[ 3. -4.  0.]
[ 4.  3.  0.]
[ 0.  0.  5.]]

U_norm=la.norm(U, axis=0)
print(U_norm)

[5., 5., 5.]

U1=U/U_norm #U를 단위 행렬로 전환
print(U1)

[[ 0.6 -0.8  0. ]
[ 0.8  0.6  0. ]
[ 0.   0.   1. ]]

np.allclose(U1.T, la.inv(U1))

True

위 행렬의 단위 행렬에서 전치 행렬과 역행렬이 같습니다. 그러므로 직교 행렬입니다.

sympy.solvers로 방정식해 구하기

sympy.solvers로 방정식해 구하기 대수 방정식을 해를 계산하기 위해 다음 함수를 사용합니다. sympy.solvers.solve(f, *symbols, **flags) f=0, 즉 동차방정식에 대해 지정한 변수의 해를 계산 f : 식 또는 함수 symbols: 식의 해를 계산하기 위한 변수, 변수가 하나인 경우는 생략가능(자동으로 인식) flags: 계산 또는 결과의 방식을 지정하기 위한 인수들 dict=True: {x:3, y:1}같이 사전형식, 기본값 = False set=True :{(x,3),(y,1)}같이 집합형식, 기본값 = False ratioal=True : 실수를 유리수로 반환, 기본값 = False positive=True: 해들 중에 양수만을 반환, 기본값 = False 예

x^{2} = 1

의 해를 결정합니다. solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다.

x^{2} - 1 = 0

import numpy as np from sympy import * x = symbols('x') solve(x**2-1, x) [-1, 1] 위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다.

\begin{array}{r} x^{2} - 1 = 0 \to (x + 1) (x - 1) = 0 \\ x = 1 or - 1 \end{array}

예

x^{4} = 1

의 해를 결정합니다. solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다. eq=x**4-1 solve(eq, set=True) ([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)}) 위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다.

x^{4} - 1 = (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0 \to x = \pm \sqrt{- 1}, \pm 1 = \pm i, \pm 1

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