직교벡터(Orthogonal vectors)와 정사영(Projection)

내용

• 직교벡터(Orthogonal vectors)
• 정사영(Projection)

직교벡터와 정사영

직교벡터(Orthogonal vectors)

두 벡터의 내적과 사잇각은 식 1과 같이 계산됩니다.

$$\begin{align}\tag{1} &u \cdot v=\parallel{u}\parallel \parallel{v}\parallel \cos(\theta) \\ & \cos(\theta) =\frac{u \cdot v}{\parallel{u}\parallel \parallel{v}\parallel} \end{align}$$

식 1에 의하면 두 벡터가 직각을 이루는 경우 내적은 0가 됩니다. 이러한 벡터를 직교벡터(Orthogonal vectors)라 합니다. 그림 1은 벡터 u와 v와 벡터 u와 -v는 모두 직각관계를 나타냅니다. 즉, 벡터 v에 수직인 벡터 u는 다음의 조건을 만족합니다.

$$\parallel{u-v}\parallel=\parallel{u-(-v)}\parallel$$

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

a, u, uNeg, v=[0,0], [3,0], [-3,0], [0,3]
col=['blue','red','green']
nme=['u', '-u','v']
plt.figure(dpi=100)
for i, j in enumerate([u, uNeg, v]):
    plt.arrow(a[0], a[1], j[0]-a[0], j[1]-a[1], width=0.05, color=col[i], label=nme[i])
plt.arrow(uNeg[0],uNeg[1], v[0]-uNeg[0],v[1]-uNeg[1], linestyle='--', color="red")
plt.text(-2, 2.5, r"$\mathbf{\parallel{u-(-v)}\parallel}$")
plt.arrow(u[0],u[1], v[0]-u[0],v[1]-u[1], linestyle='--', color="blue")
plt.text(0.6, 2.5, r"$\mathbf{\parallel{u-v}\parallel}$")
plt.legend(loc="best")
plt.show()

그림 1. 직교벡터들.

그림 1에서 나타낸 것과 같이 두 벡터 u, v가 수직 관계를 가지면 선형대수에서는 직교성(orthogonality)을 나타낸다고 합니다.

직교 벡터들의 특성

• 두 벡터 u·v=0 이라면 두 벡터 u, v는 직교적입니다.
• 0벡터는 모든 벡터에 직교합니다.

예)
 두 벡터 x, y는 직교하는지를 결정합니다.

$$x=\left[\begin{matrix}2\\-2\\-3\\0\end{matrix}\right] \quad v=\left[\begin{matrix}0\\-4\\4\\-2\end{matrix}\right]$$

x=np.array([[2, -2, -3, 0]]).reshape(4,1)
y=np.array([[0, -4, 4, -2]]).reshape(4, 1)
np.dot(x.T, y)

array([[-4]])

np.dot(y.T, x)

array([[-4]])

두 벡터의 내적은 0이 아니므로 직교하지 않습니다.

예)
 두 벡터 x, y는 직교하기 위한 b를 결정합니다.

$$x=\left[\begin{matrix}6\\b\\-3\end{matrix}\right] \quad v=\left[\begin{matrix}-1\\7\\3\end{matrix}\right]$$

이 예는 b의 값을 결정하는 것으로 b를 변수로 지정할 필요가 있습니다. 이 경우 파이썬의 sympy 모듈은 symbols()를 사용합니다. sympy 모듈에서 행렬 등의 배열 객체를 생성하기 위해서는 Matrix()함수를 사용하며 이 객체는 numpy의 array()객체와 유사하며 상호호환이 가능합니다. 또한 이 객체의 전이행렬은 .T 속성으로 이루어집니다.

b=sp.symbols("b")
x=sp.Matrix([[6],[b],[-3]])
y=sp.Matrix([[-1], [7],[3]])
x.T*y

$\color{navy}{\left[\begin{matrix}7 b - 15\end{matrix}\right]}$

b는 위 결과 7b-15=0을 만족하는 값입니다. 즉, $b=\frac{15}{7}$입니다. sympy 모듈의 solve()함수는 이러한 방정식의 해를 계산합니다.

sol=sp.solve(x.T*y, b)
sol

{b: 15/7}

예)
 벡터 u₁, u₂, u₃가 직교하기 위한 a, b를 결정합니다.

$$u_1=\left[\begin{matrix}-3\\-2\\1\end{matrix}\right] \quad u_2=\left[\begin{matrix}a\\1\\b\end{matrix}\right] \quad u_3=\left[\begin{matrix}1\\-4\\-5\end{matrix}\right]$$

a, b=sp.symbols("a b")
u1=sp.Matrix(3,1, [-3,-2,1])
u2=sp.Matrix(3,1, [a,1,b])
u3=sp.Matrix(3,1 ,[1,-4,-5])
u1u2=u1.T*u2
u1u2

$\color{navy}{\left[\begin{matrix}- 3 a + b - 2\end{matrix}\right]}$

u2u3=u2.T*u3
u2u3

$\color{navy}{displaystyle \left[\begin{matrix}a - 5 b - 4\end{matrix}\right]}$

위의 두 결과가 0이 되어야 합니다. 즉, 다음의 연립방정식의 해를 결정하는 것입니다.

$$\begin{align}&−3𝑎+𝑏−2=0\\&𝑎−5𝑏−4\end{align}$$

위 결과를 u1u2=0 또는 u2u3=0의 형태로 만들기 위해 sympy.Eq(x, y)함수를 적용합니다.

sp.Eq(u1u2[0], 0), sp.Eq(u2u3[0], 0)

(Eq(-3*a + b - 2, 0), Eq(a - 5*b - 4, 0))

위와 같은 식들의 공통해를 결정하기 위해 sympy.solve() 함수를 사용할 수 있습니다.

sol=sp.solve((sp.Eq(u1u2[0], 0), sp.Eq(u2u3[0], 0)), a, b)
sol

{a: -1, b: -1}

정사영(Projection)

그림 2의 벡터 b에 수직으로 빛을 조사할 경우 벡터 a에 생성되는 b의 그림자에 대한 위치벡터를 정사영(projection)이라고 합니다. 그 투영된 벡터를 b_proj라고 나타냅니다.

그림 2. 벡터 a위로 투영된 벡터 b의 정사영.

두 벡터의 사잇각을 θ라고 하면 식 1에 의해 내적을 계산할 수 있습니다. 그 내적과 cosine 법칙을 적용하면 투영된 b의 정사영(b_proj)의 노름(norm)은 식 2와 같이 계산됩니다. $$\begin{align} cos(\theta)&=\frac{\parallel{b_{proj}}\parallel}{\parallel{b}\parallel}\\ &=\frac{a \cdot b}{\parallel{a}\parallel \cdot \parallel{b}\parallel}\\ \parallel{b_{proj}}\parallel&=\frac{a \cdot b}{\parallel{a}\parallel} \end{align}$$

b_proj는 벡터 a위에 위치한 b의 정사영이므로 정사영의 크기는 a의 단위 벡터에 대한 배수로 나타낼 수 있습니다. 그러므로 식 2와 같이 정사영은 두 벡터의 내적과 노름에 의해 계산될 수 있습니다.

$$\begin{align}\tag{2} a_{unit}&=\frac{a}{\parallel{a}\parallel}\\ b_{proj}&=\frac{a \cdot b}{\parallel{a}\parallel}\cdot \frac{a}{\parallel{a}\parallel}\\ &=\frac{a \cdot b}{\parallel{a}\parallel}\cdot a_{unit} \end{align}$$

예)
 벡터 a위로의 벡터 b의 정사영 b_proj를 계산합니다.

$$a=\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} \quad b=\begin{bmatrix}2\\1 \end{bmatrix}$$

a=np.array([[1],[0]])
b=np.array([[2],[1]])
ab=np.dot(a.T, b)
aNorm=(la.norm(a))**2
bProj=ab/aNorm *a
bProj

array([[2.],
         [0.]])

위 결과는 그림 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

plt.figure(dpi=100)
plt.arrow(0,0, b[0,0], b[1,0], width=0.01, color="blue")
plt.text(0.5, 0.3, r'$\mathbf{\overrightarrow{b}}}$', color="blue")
plt.arrow(0,0, a[0,0], a[1,0], width=0.01, color="red")
plt.text(0.5, 0.05, r'$\mathbf{\overrightarrow{b}}$', color="red")
plt.arrow(0,0, bProj[0,0], bProj[1,0], width=0.01,  color="blue", alpha=0.3)
plt.text(1.5, 0.05, r'$\mathbf{\overrightarrow{b_{proj}}}$', color="blue")
plt.arrow(bProj[0,0], 0, 0, b[1,0], linestyle="--", color="blue", alpha=0.3)
plt.arrow(1.95, 0, 0, 0.05, alpha=0.5)
plt.arrow(1.95, 0.05, 0.05, 0, alpha=0.5)
plt.text(1.8, 0.01, r"$\mathbf{90^{\circ}}$")
plt.show()

그림 3. 두 벡터의 정사영관계.