[Linear Algebra]직교벡터(Orthogonal vectors)

직교벡터(Orthogonal vectors)

식 1에 의하면 두 벡터의 사잇각이 직각일 경우 정사영의 노름(norm)은 0이 됩니다. 즉, 내적은 0으로 식 2와 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align}u\cdot v & = \Vert{u}\Vert \Vert{v}\Vert \cos(\theta)\\ \cos(\theta) &= \frac{u\cdot v}{\Vert{u}\Vert \Vert{v}\Vert}\end{align}

(식 1)

\begin{align}x·y &= \Vert{x}\Vert \Vert{y}\Vert \cos(90°)\\ &= 0\end{align}

(식 2)

식 2가 성립하는 두 벡터들은 서로 직교벡터(Orthogonal vectors)이며 직교성(orthogonality)을 가진다고 합니다. 그림 1에서 벡터 u와 v, 그리고 벡터 u와 -v는 모두 직각관계를 나타냅니다.

그림 1. 직교벡터

fig, ax=plt.subplots(figsize=(2,2))
ax.arrow(0,0, 1,0,color="r", lw=2, head_width=0.05)
ax.arrow(0,0, -1,0, color="b", lw=2, head_width=0.05)
ax.arrow(0,0, 0, 1, color="g", lw=2, head_width=0.05)
ax.arrow(-1, 0,  1, 1, ls="-.", color="b",alpha=0.3)
ax.arrow(1, 0,  -1, 1, ls="-.", color="r",alpha=0.3)
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
ax.set_xticks([])
ax.set_yticks([])
plt.text(0.02, 0.02, r"$90^o$", color="r")
plt.text(-0.4, 0.02, r"$90^o$", color="b")
cor=[(-0.5, -0.1), (0.5, -0.1), (0.1, 0.5), (0.6, 0.5), (-1.3, 0.5)]
nme=["-v","v", 'u', "||u-v||", "||u-(-v)||"]
col=["r", 'b', 'g', 'r','b']
for i in range(len(cor)):
    plt.text(cor[i][0], cor[i][1], nme[i], color=col[i])
plt.show()

그림 1에서 나타낸 벡터들과의 관계는 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\Vert{u - v}\Vert = \Vert{u - (-v)}\Vert$$

(식 3)

직교벡터의 특성

• 두 벡터 u · v = 0 이라면 두 벡터 u, v는 직교적입니다.
• 영벡터는 모든 벡터에 직교합니다

예 1)

두 벡터 x, y의 직교여부를 결정합니다.

x = [2, -2, -3, 0],   y = [0, -4, 4, -2]

x=np.array([2, -2, -3, 0])
y=np.array([0, -4, 4, 2])
x@y

-4

두 벡터의 내적은 0이 아닙니다. 즉, 그들은 직교하지 않음을 나타냅니다.

예 2)

두 벡터 x, y가 직교하기 위한 b를 결정합니다.

x = [6, b, -3],  y = [-1, 7, 3]

이 예는 b의 값을 결정하는 것으로 b를 변수로 지정될 필요가 있습니다. 파이썬 모듈 sympy의 함수 symbols() 함수는 문자를 연산이 가능한 수학 기호로 지정할 수 있습니다. 또한 지정된 기호를 포함하는 행렬을 생성하기 위해서는 sympy 모듈의 Matrix() 함수를 사용합니다. 이 함수에 의해 생성된 객체는 numpy의 array 객체와 유사하며 상호 호환이 가능합니다. 또한 이 객체의 전이 행렬은 .T 속성으로 이루어집니다.

b=symbols("b")
x=Matrix([6, b, -3])
y=Matrix([-1, 7, 3])
print(x)

Matrix([[6], [b], [-3]])

print(y)

Matrix([[-1], [7], [3]])

Matrix() 함수에 의해 생성된 객체는 열벡터 또는 행렬의 형태를 갖습니다. 그러므로 행렬곱을 시행하기 위해서는 앞객체의 열의 수와 뒤객체의 행의 수를 일치시켜야 됩니다. 객체 x와 y 모두 3×1의 형태이므로 앞객체는 전치되어야 합니다. sympy 객체들의 행렬곱은 '*' 연산자 또는 .dot() 메소드로 실행됩니다.

x.T*y

[7b−15]

iner=x.dot(y)
print(iner)

7*b - 15

직교가 되기 위해서는 위 값이 0이 되어야 합니다. 즉, 위 결과인 7b - 15 = 0의 해를 결정하는 것으로 sympy.solve() 함수를 적용합니다.

solve(iner, b)

[15/7]

예 3)

벡터 u₁, u₂, u₃가 직교하기 위한 a, b를 결정합니다.

u₁ = [-3, -2, 1], u₂ = [a, 1, b], u₃ = [1, -4, -5]

예제 2와 같은 방식으로 미지수를 결정할 수 있습니다. 결정할 미지수가 두 개이므로 그 미지수를 포함하는 두개의 식이 필요합니다. 두개의 식을 생성하기 위해 u₁과 u₂ 그리고 u₂와 u₃의 내적을 계산합니다.

a, b=symbols("a b")
u1=Matrix([-3, -2, 1])
u2=Matrix([a, 1, b])
u3=Matrix([1, -4, -5])
iner1=u1.dot(u2);iner1

-3a+b-2

iner2=u2.dot(u3); iner2

a-5b-4

위 두 결과를 정리하면 식 4와 같이 나타낼 수 있습니다.

\begin{align}-3a + b - 2 & = 0\\ a - 5b - 4 & = 0 \end{align}

(식 4)

식 4와 같은 연립방정식의 해 역시 sympy.solve() 함수를 사용하여 결정할 수 있습니다.

solve((iner1, iner2), a, b)

{a: -1, b: -1}