결합함수의 미분

내용

• 함수들의 합과 차
• 함수들의 곱
  • 미분의 곱법칙
• 함수들의 나눗셈
  • 분수의 미분규칙
• 지수 형태의 미분
  • 연쇄법칙

함수들의 합과 차

두 개 이상으로 구성된 함수의 합에 대해 미분을 고려해 봅니다. 먼저 간단한 예로 다음 식의 미분을 계산합니다.

$$\begin{align} y&=(x^2+c)+(ax^4+b)\\ \frac{dy}{dx}&=2x+4ax^3 \end{align}$$

x, a, b, c =symbols("x, a, b, c")
y=(x**2+c)+(a*x**4+b)
y

ax4+b+c+x2

diff(y, x)

4ax3+2x

위 과정은 미분 개념을 적용하여 계산한 것입니다. 이를 응용하여 특정한 부분을 새로운 변수로 치환하는 방법을 적용해 봅니다. 먼저 위 식의 우항들을 다음과 같이 치환합니다.

$$\begin{align} x^2+c&=u\\ax^4+b&=v\\ y&=u+v \end{align}$$

위 식의 치환된 각항은 x로 구성되어 있음으로 이 식의 최종 미분인 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$와 u와 v의 미분 관계를 식 1과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\begin{align}\tag{1} \frac{dy}{dx}&=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}\\ &=\frac{d(x^2+c)}{dx}+\frac{d(ax^4+b)}{dx}\\ &=2x+4ax \end{align}$$

위 치환 과정을 코드화하면 다음과 같습니다.

x, a, b, c =symbols("x, a, b, c") 
u=Function('u')(x)   #(1)
v=Function('v')(x)   #(2)
eq_u=u-x**2+c 
eq_u

c-x2+u(x)

eq_v=v-(a*x**4+b)
eq_v

-ax4-b+v(x)

eq_u.diff(x)

$\quad \small\color{blue}{\displaystyle -2x +\frac{du(x)}{dx}}$

eq_v.diff(x)

$\quad \small\color{blue}{\displaystyle -4ax^3+\frac{dv(x)}{dx}}$

위코드에서 u.diff(), v.diff()의 결과인 (Derivative(u(x), x), Derivative(v(x), x))는 각각 $\frac{du(x)}{dx}, \, \frac{dv(x)}{dx}$를 나타냅니다. 그러므로 다음과 같이 정리됩니다.

solve(eq_u.diff(x)+eq_v.diff(x), u.diff()+v.diff())

[4*a*x**3 + 2*x]

위의 코드 (1)과 (2)는 치환 함수를 명시하기 위해 정의하였습니다. 코드(3)은 두 치환 함수를 x에 관해 미분한 결과들의 합 du + dv을 표현한 것입니다.

위 과정은 2개 이상의 여러 개 함수들로 구성된 경우도 동일하게 적용할 수 있습니다. 3개의 함수들로 구성된 경우 각 항을 u, v, w로 치환하면 식 2와 같이 미분을 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{align}\tag{2} y&=u\pm v\pm w\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}\pm \frac{dw}{dx} \end{align}$$

함수들의 곱

함수들의 합과는 다르게 여러 함수의 곱일 경우는 단순히 치환된 함수들의 곱으로 처리될 수 없습니다. 즉, 치환된 함수 부분들을 독립적으로 미분할 수 없습니다. 예를 들어 식 $y = (x^2 + c)\cdot (ax^4 + b)$의 경우 합의 미분과 같이 우항의 두 부분을 독립적으로 미분할 수 없습니다.

다음 코드는 두 함수 u, v의 곱의 미분과 각 함수의 미분후 곱의 결과를 나타냅니다.

x, a, b, c =symbols("x, a, b, c")
u=x**2+c
v=a*x**4+b
y=u*v
y.diff(x)

$\quad \small \color{blue}{4ax^3(c+x^2)+2x(ax^4+b)}$

u.diff(x)*v.diff(x)

$\quad \small \color{blue}{4 a x^{3} \left(4 a x^{3} \left(c + x^{2}\right) + 2 x \left(a x^{4} + b\right)\right)}$

위 결과는 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{equation}\tag{3}\frac{dy}{dx}\neq \frac{du}{dx}\frac{dv}{dx}\end{equation}$$

두 함수의 곱의 미분은 다음과 같이 미분을 위한 함수외에는 상수항으로 간주하여 계산할 수 있습니다.

u*v.diff(x)+u.diff(x)*v

$\quad \small \color{blue}{4ax^3(c+x^2)+2x(ax^4+b)}$

위 과정을 정리하면 식 5와 같이 함수들의 곱에 대한 미분 법칙을 정리할 수 있습니다.

미분의 곱법칙 $$\begin{align}\tag{5} &y=u \cdot v\\ &dy=u \cdot dv + du \cdot v\\ &\frac{dy}{dx}=u \cdot \frac{dv}{dx}+\frac{du}{dx} \cdot v \end{align}$$

함수들의 나눗셈

$\displaystyle y =\frac{u}{v}$와 같이 분수형태의 함수를 미분은 식 6과 같이 전개됩니다.

$$\begin{align}\tag{6} y &=\frac{u}{v}\\y+dy&=\frac{u+du}{v+dv}\\ &=\frac{(u+du)(v-dv)}{(v+dv)(v-dv)}\\ &=\frac{u\cdot v-u \cdot dv+v\cdot du-du \cdot dv}{v^2-dv^2}\\ &=\frac{u}{v}+\frac{du}{v}-\frac{u \cdot dv}{v^2}\\ \Leftarrow \; & du \cdot dv \approx 0, \; dv^2 \approx 0 \end{align}$$

위 전개 과정의 최종 결과를 정리하면 분수 형태의 결합 함수에 대한 규칙(fraction rule)을 식 7과 같이 일반화할 수 있습니다.

분수의 미분규칙 $$\begin{align}\tag{7} y&=\frac{u}{v}\\ \frac{dy}{dx}&=\frac{v \cdot du - u \cdot dv}{v^2}\frac{1}{dx} \end{align}$$

다음 분수로 이루어진 함수 y를 미분하여 봅시다.

$$y=\frac{bx^5+c}{x^2+a}$$

이 식의 분자와 분모를 각각 u와 v로 치환하여 계산하면 다음과 같습니다.

x, a, b, c=symbols("x, a, b, c")
y=(b*x**5+c)/(x**2+a)
v=denom(y)
v

$\quad \small \color{blue}{a+x^2}$

u=numer(y)
u

$\quad \small \color{blue}{bx^5+c}$

# 함수의 나눗셈 결과를 미분 
u_v=u/v
diff(u_v, x)

$\quad \small \color{blue}{\frac{5 b x^{4}}{a + x^{2}} - \frac{2 x \left(b x^{5} + c\right)}{\left(a + x^{2}\right)^{2}}}$

#분수의 미분규칙을 적용
(v*u.diff(x)-u*v.diff(x))/(v**2)

$\quad \small \color{blue}{\frac{5 b x^{4} \left(a + x^{2}\right) - 2 x \left(b x^{5} + c\right)}{\left(a + x^{2}\right)^{2}}}$

위 코드에서 식 y와 같은 분수형태의 sympy 객체는 분자와 분모를 분리하여 호출할 수 있습니다. 각각 numer()와 denom() 함수를 사용합니다. 또한 위의 두 방법들의 각 결과를 비교하기 위해 통분할 수 있습니다. 이 경우 together()함수를 적용할 수 있습니다.

together(diff(u_v, x))

$\quad \small \color{blue}{\frac{x \left(- 2 b x^{5} + 5 b x^{3} \left(a + x^{2}\right) - 2 c\right)}{\left(a + x^{2}\right)^{2}}}$

together((v*u.diff(x)-u*v.diff(x))/(v**2))

$\quad \small \color{blue}{\frac{x \left(- 2 b x^{5} + 5 b x^{3} \left(a + x^{2}\right) - 2 c\right)}{\left(a + x^{2}\right)^{2}}}$

지수 형태의 미분

동일한 함수를 여러 번 곱하는 경우 지수 형태로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 함수 $v = (3t^2 - 1.2t + 1)^3$의 경우 미분을 위해 두 가지 접근이 가능합니다. 먼저 우항을 전개하여 미분하는 방법입니다.

t=symbols("t")
v=(3*t**2-1.2*t+1)**3
v1=expand(v)
v1

$\quad \small \color{blue}{27 t^{6} - 32.4 t^{5} + 39.96 t^{4} - 23.328 t^{3} + 13.32 t^{2} - 3.6 t + 1}$

v1.diff(t)

$\quad \small \color{blue}{162 t^{5} - 162.0 t^{4} + 159.84 t^{3} - 69.984 t^{2} + 26.64 t - 3.6}$

다음은 우항의 괄호내 함수를 치환하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\begin{align}&u=3t^2-1.2t+1 \rightarrow \frac{du}{dx}=6t-1.2\\ &v=u^3 \rightarrow \frac{dv}{du}=3u^2 \end{align}$$

위와 같이 치환한 함수들의 미분의 곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있으며 연쇄법칙(Chain Rule)이라고 합니다.(식 8)

연쇄법칙 $$\begin{equation}\tag{8} \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx} \end{equation}$$

t, u=symbols("t, u")
u1=3*t**2-1.2*t+1
v=u**3
u1

$\quad \small \color{blue}{3t^2-1.2t+1}$

du1_dt=u1.diff(t)
du1_dt

$\quad \small \color{blue}{6t-1.2}$

dv_du=v.diff(u)
dv_du

$\quad \small \color{blue}{3u^2}$

dv_dt=dv_du*du1_dt
dv_dt

$\quad \small \color{blue}{3u^2(6t-1.2)}$

dv_dt.subs(u, u1)

$\quad \small \color{blue}{27(6t-1.2)(t^2-0.4t+13)^2}$

expand(dv_dt.subs(u, u1))

$\quad \small \color{blue}{162t^5-162.0t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6}$

위 코드에서 expand()는 식을 전개하기 위해 사용할 수 있는 sympy 함수 입니다.

다양한 함수들의 미분 과정을 살펴봅시다.

예 1)
 다음 식은 변수에 대한 계수들이 분수 형태이므로 일반적인 미분 공식을 적용할 수 있습니다.

$$y=\frac{a}{b^2}x-\frac{a^2}{b}+\frac{a^2}{b^2}$$

x, a, b, c=symbols("x, a, b, c")
y=(a/b**2)*x**3-(a**2/b)*x+a**2/b**2
y.diff(x)

$\quad \small \color{blue}{-\frac{a^2}{b}+\frac{3a}{b^2}x^2}$

예 2)
 다음 함수 y의 미분를 미분합니다.

$$\begin{align}y&=2a\sqrt{bx^3}-\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x}-\sqrt{ab}\\ \frac{dy}{dx}&=2a \sqrt{b}\frac{\sqrt{x^3}}{dx}-\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x \cdot dx}\\ &=3a\sqrt{bx}+\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}\end{align}$$

xx, a, b=symbols("x, a, b")
y=2*a*sqrt(b*x**3)-3*b*a**(Rational('1/3'))/x-2*sqrt(a*b)
y.diff(x)

$\quad \small \color{blue}{\frac{3 \sqrt[3]{a}b}{x^2}+\frac{3a\sqrt{bx^3}}{x}}$

예 3)
 다음 식에서 θ에 대한 z의 변화율을 계산해 봅니다.

$$\begin{align}z &= \frac{1.8}{\sqrt[3]{\theta^2}}-\frac{4.4}{\sqrt[5]{\theta}}-1\\ \frac{dz}{d\theta}&=-\frac{2 \cdot 1.8}{3}\theta^{-\frac{2}{3}-1}-\frac{4.4}{5}\theta^{\frac{1}{5}-1}\\ &=-\frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}-\frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}}\end{align}$$

theta=symbols("theta")
z=1.8*theta**(Rational('-2/3'))+4.4*theta**(Rational('-1/5'))-27
z.diff(th)

$\quad \small \color{blue}{-\frac{1.2}{\sqrt[3]{\theta^5}}-\frac{0.88}{\sqrt[5]{\theta^6}}}$

예 4)
 $y = (2x-3)(x + 1)^2$을 미분해 봅시다.

이 식의 미분은 모두 전개하여 계산할 수 있지만 위에서 소개한 곱의 미분 법칙과 연쇄 법칙을 적용하여 계산할 수 있습니다.

$$\begin{align} &\frac{dy}{dx}=(2x-3)\frac{d(x+1)^2}{dx}+(x+1)^2 \frac{d(2x-3)}{dx}\\ &\frac{d((x+1)^2)}{dx}=2(x+1)\\ &\frac{dy}{dx}=(2x-3)\cdot 2(x+1)+(x+1)^2 \cdot2\end{align}$$

x=symbols("x")
y=(2*x-3)*(x+1)**2
dy_dx=diff(y, x)
dy_dx

$\quad \small \color{blue}{2(x + 1)^2 + (2x - 3)(2x + 2)}$

예 5)
 $y=0.5x^3(x-3)$의 미분은 곱의 미분법칙을 적용합니다.

$$\begin{align} \frac{dy}{dx}&=0.5 \cdot x^2(x-3)+0.5x^3\\ &=1.5x^2(x-3)+0.5x^3\end{align}$$

x=symbols('x')
y=0.5*x**3*(x-3)
y

$\quad \small \color{blue}{0.5x^3(x-3)}$

diff(y, x)

$\quad \small \color{blue}{0.5x^3+1.5x^2(x-3)}$

예 6)
 다음 함수를 미분해 봅시다.

$$\begin{align}&w = \left(θ+\frac{1}{\theta})(\sqrt{\theta}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\\ &\begin{aligned}\frac{dw}{d\theta}&=\frac{d}{d \theta} \left(\theta+\frac{1}{\theta}\right)\left(\sqrt{\theta}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\right)+\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right)\frac{d}{d\theta}\left(\sqrt{\theta}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\right)\\ &=\left(1-\frac{1}{\theta^2} \right)\left(\sqrt{\theta}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\right)+\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right)\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right) \end{aligned}\end{align}$$

theta=symbols('theta')
w=(theta+1/theta)*(sqrt(theta)+1/sqrt(theta))
w

$\quad \small \color{blue}{\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right)\left(\sqrt{\theta}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\right)}$

w.diff(theta)

$\quad \small \color{blue}{ \left(1-\frac{1}{\theta^2} \right)\left(\sqrt{\theta}+\frac{1}{\sqrt{\theta}}\right)+\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right)\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{\theta}}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\theta^3}}\right)}$

예 7)
 함수 y를 미분합니다.

$$y=\frac{a}{ax^2+a\sqrt{x}+1}$$

함수 y를 미분하기 위해 나눗셈의 미분 규칙을 적용합니다.

$$\begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{(ax^2+a\sqrt{x}+1)^2}\left(\frac{da}{dx}(ax^2+a\sqrt{x}+1)-a\frac{d(ax^2+a\sqrt{x}+1)}{dx} \right)\\ &=\frac{a \left(- 2 a x - \frac{a}{2 \sqrt{x}}\right)}{\left(a \sqrt{x} + a x^{2} + 1\right)^{2}} \end{align}$$

a, x=symbols('a, x')
y=a/(1+a*sqrt(x)+a*x**2)
y.diff(x)

$\quad \small \color{blue}{\frac{a \left(- 2 a x - \frac{a}{2 \sqrt{x}}\right)}{\left(a \sqrt{x} + a x^{2} + 1\right)^{2}}}$

예 8)
 다음 함수 y를 미분합니다. 이 식 역시 나눗셈의 형태로서 예 7과 같이 나눗셈 미분법칙을 적용합니다.

$$\begin{align}&y=\frac{x^2}{x^2+1}\\\\ &\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{(x^2+1)^2}\left(\frac{dx^2}{dx}(x^2+1)-x^2\frac{d(x^2+1)}{dx} \right)\\ &=- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}\end{aligned}\end{align}$$

x=symbols('x')
y=x**2/(x**2+1)
y.diff(x)

$\quad \small \color{blue}{- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

simplify(y.diff(x))

$\quad \small \color{blue}{\frac{2 x}{x^{4} + 2 x^{2} + 1}}$

예 9)
 함수 y를 미분합니다.

$$y=\frac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}$$

a, x=symbols('a, x')
y=(a+x**(Rational('1/2')))/(a-x**(Rational('1/2')))
y

$\quad \small \color{blue}{\frac{a + \sqrt{x}}{a - \sqrt{x}}}$

de=denom(y) #분모
de

$\quad \small \color{blue}{a - \sqrt{x}}$

nu=numer(y)
nu #분자

$\quad \small \color{blue}{a + \sqrt{x}}$

y_diff=1/de**2*(nu.diff(x)*de-nu*de.diff(x))
simplify(y_diff)

$\quad \small \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{x} \left(a - \sqrt{x}\right)^{2}}}$

위 과정 없이 직접 미분한 것과 같은 결과가 반환되어야 합니다.

simplify(y.diff(x))

$\quad \small \color{blue}{\frac{a}{\sqrt{x} \left(a - \sqrt{x}\right)^{2}}}$

예 10)
 다음 함수 역시 분수형태이므로 나눗셈 법칙을 적용합니다.

$$y=\frac{- a x^{\frac{2}{3}} + 1}{a x^{\frac{3}{2}} + 1}$$

a, x=symbols('a, x')
y=(1-a*x**(Rational('2/3')))/(1+a*x**(Rational('3/2')))
y

$\quad \small \color{blue}{\frac{- a x^{\frac{2}{3}} + 1}{a x^{\frac{3}{2}} + 1}}$

de=denom(y)#분모 
de

$\quad \small \color{blue}{a x^{\frac{3}{2}} + 1}$

nu=numer(y)#분자 
nu

$\quad \small \color{blue}{-a x^{\frac{3}{2}} + 1}$

y_diff=1/de**2*(nu.diff(x)*de-nu*de.diff(x))
simplify(y_diff)

$\quad \small \color{blue}{\frac{a \left(- 4 a x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{5}{6}} \left(a x^{\frac{2}{3}} - 1\right) - 4\right)}{6 \sqrt[3]{x} \left(a x^{\frac{3}{2}} + 1\right)^{2}}}$

simplify(y.diff(x))

$\quad \small \color{blue}{\frac{a \left(- 4 a x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{5}{6}} \left(a x^{\frac{2}{3}} - 1\right) - 4\right)}{6 \sqrt[3]{x} \left(a x^{\frac{3}{2}} + 1\right)^{2}}}$

예 11)
 80°C 이상인 t°C에서의 포화증기압 P는 다음과 같이 나타냅니다. 100°C에서 증기압의 변화량?

\[P=\left(\frac{40+t}{140}\right)^5\]

거듭제곱 형태의 함수를 미분하기 위해 연쇄법칙을 적용합니다.

$$\begin{align} u&=\frac{40+t}{140} \frac{dP}{dt}\\&=\frac{dP}{du}\frac{du}{dt}\\ &=\frac{5\left(\frac{40+t}{140}\right)^4}{140}\\ &=\frac{5(40+t)^4}{140^5} \end{align}$$

t, u=symbols("t, u")
P=((40+t)/140)**5
dpdt=P.diff(t)
simplify(dpdt)

$\quad \small \color{blue}{\frac{\left(t + 40\right)^{4}}{10756480000}}$

dpdt.subs(t, 100)

$\quad \small \color{blue}{\frac{1}{28}}$