결합함수의 미분

내용

• 함수들의 합과 차
• 함수들의 곱
  • 미분의 곱법칙
• 함수들의 나눗셈
  • 분수의 미분규칙
• 지수 형태의 미분
  • 연쇄법칙

함수들의 합과 차

두 개 이상으로 구성된 함수의 합에 대해 미분을 고려해 봅니다. 먼저 간단한 예로 다음 식의 미분을 계산합니다.

$$\begin{array}{rl}y& =(x^2+c)+(a{x}^4+b)\\ \frac{dy}{dx}& =2x+4a{x}^3\end{array}$$

x, a, b, c =symbols("x, a, b, c")
y=(x**2+c)+(a*x**4+b)
y

ax4+b+c+x2

diff(y, x)

4ax3+2x

위 과정은 미분 개념을 적용하여 계산한 것입니다. 이를 응용하여 특정한 부분을 새로운 변수로 치환하는 방법을 적용해 봅니다. 먼저 위 식의 우항들을 다음과 같이 치환합니다.

$$\begin{array}{rl}{x}^2+c& =u\\ a{x}^4+b& =v\\ y& =u+v\end{array}$$

위 식의 치환된 각항은 x로 구성되어 있음으로 이 식의 최종 미분인 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$와 u와 v의 미분 관계를 식 1과 같이 정의할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(1)}& \frac{dy}{dx}& =\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}& =\frac{d(x^2+c)}{dx}+\frac{d(a{x}^4+b)}{dx}\\ & =2x+4ax\end{array}$$

위 치환 과정을 코드화하면 다음과 같습니다.

x, a, b, c =symbols("x, a, b, c") 
u=Function('u')(x)   #(1)
v=Function('v')(x)   #(2)
eq_u=u-x**2+c 
eq_u

c-x2+u(x)

eq_v=v-(a*x**4+b)
eq_v

-ax4-b+v(x)

eq_u.diff(x)

${\displaystyle -2x+\frac{du(x)}{dx}}$

eq_v.diff(x)

${\displaystyle -4a{x}^3+\frac{dv(x)}{dx}}$

위코드에서 u.diff(), v.diff()의 결과인 (Derivative(u(x), x), Derivative(v(x), x))는 각각 $\frac{du(x)}{dx},\frac{dv(x)}{dx}$를 나타냅니다. 그러므로 다음과 같이 정리됩니다.

solve(eq_u.diff(x)+eq_v.diff(x), u.diff()+v.diff())

[4*a*x**3 + 2*x]

위의 코드 (1)과 (2)는 치환 함수를 명시하기 위해 정의하였습니다. 코드(3)은 두 치환 함수를 x에 관해 미분한 결과들의 합 du + dv을 표현한 것입니다.

위 과정은 2개 이상의 여러 개 함수들로 구성된 경우도 동일하게 적용할 수 있습니다. 3개의 함수들로 구성된 경우 각 항을 u, v, w로 치환하면 식 2와 같이 미분을 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(2)}& y& =u\pm v\pm w\frac{dy}{dx}& =\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}\pm \frac{dw}{dx}\end{array}$$

함수들의 곱

함수들의 합과는 다르게 여러 함수의 곱일 경우는 단순히 치환된 함수들의 곱으로 처리될 수 없습니다. 즉, 치환된 함수 부분들을 독립적으로 미분할 수 없습니다. 예를 들어 식 $y=(x^2+c)\cdot (a{x}^4+b)$의 경우 합의 미분과 같이 우항의 두 부분을 독립적으로 미분할 수 없습니다.

다음 코드는 두 함수 u, v의 곱의 미분과 각 함수의 미분후 곱의 결과를 나타냅니다.

x, a, b, c =symbols("x, a, b, c")
u=x**2+c
v=a*x**4+b
y=u*v
y.diff(x)

$4a{x}^3(c+x^2)+2x(a{x}^4+b)$

u.diff(x)*v.diff(x)

$4a{x}^3(4a{x}^3(c+x^2)+2x(a{x}^4+b))$

위 결과는 식 3과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{dy}{dx}\ne \frac{du}{dx}\frac{dv}{dx}\end{array}$$

두 함수의 곱의 미분은 다음과 같이 미분을 위한 함수외에는 상수항으로 간주하여 계산할 수 있습니다.

u*v.diff(x)+u.diff(x)*v

$4a{x}^3(c+x^2)+2x(a{x}^4+b)$

위 과정을 정리하면 식 5와 같이 함수들의 곱에 대한 미분 법칙을 정리할 수 있습니다.

미분의 곱법칙 $$\begin{array}{rl}\text{(5)}& & y=u\cdot v& dy=u\cdot dv+du\cdot v\\ & \frac{dy}{dx}=u\cdot \frac{dv}{dx}+\frac{du}{dx}\cdot v\end{array}$$

함수들의 나눗셈

${\displaystyle y=\frac{u}{v}}$와 같이 분수형태의 함수를 미분은 식 6과 같이 전개됩니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(6)}& y& =\frac{u}{v}y+dy& =\frac{u+du}{v+dv}\\ & =\frac{(u+du)(v-dv)}{(v+dv)(v-dv)}\\ & =\frac{u\cdot v-u\cdot dv+v\cdot du-du\cdot dv}{v^2-d{v}^2}\\ & =\frac{u}{v}+\frac{du}{v}-\frac{u\cdot dv}{v^2}\\ \Leftarrow & du\cdot dv\approx 0,d{v}^2\approx 0\end{array}$$

위 전개 과정의 최종 결과를 정리하면 분수 형태의 결합 함수에 대한 규칙(fraction rule)을 식 7과 같이 일반화할 수 있습니다.

분수의 미분규칙 $$\begin{array}{rl}\text{(7)}& y& =\frac{u}{v}\frac{dy}{dx}& =\frac{v\cdot du-u\cdot dv}{v^2}\frac{1}{dx}\end{array}$$

다음 분수로 이루어진 함수 y를 미분하여 봅시다.

$$y=\frac{b{x}^5+c}{x^2+a}$$

이 식의 분자와 분모를 각각 u와 v로 치환하여 계산하면 다음과 같습니다.

x, a, b, c=symbols("x, a, b, c")
y=(b*x**5+c)/(x**2+a)
v=denom(y)
v

$a+x^2$

u=numer(y)
u

$b{x}^5+c$

# 함수의 나눗셈 결과를 미분 
u_v=u/v
diff(u_v, x)

$\frac{5b{x}^4}{a+x^2}-\frac{2x(b{x}^5+c)}{{(a+x^2)}^2}$

#분수의 미분규칙을 적용
(v*u.diff(x)-u*v.diff(x))/(v**2)

$\frac{5b{x}^4(a+x^2)-2x(b{x}^5+c)}{{(a+x^2)}^2}$

위 코드에서 식 y와 같은 분수형태의 sympy 객체는 분자와 분모를 분리하여 호출할 수 있습니다. 각각 numer()와 denom() 함수를 사용합니다. 또한 위의 두 방법들의 각 결과를 비교하기 위해 통분할 수 있습니다. 이 경우 together()함수를 적용할 수 있습니다.

together(diff(u_v, x))

$\frac{x(-2b{x}^5+5b{x}^3(a+x^2)-2c)}{{(a+x^2)}^2}$

together((v*u.diff(x)-u*v.diff(x))/(v**2))

$\frac{x(-2b{x}^5+5b{x}^3(a+x^2)-2c)}{{(a+x^2)}^2}$

지수 형태의 미분

동일한 함수를 여러 번 곱하는 경우 지수 형태로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어 함수 $v=(3t^2-1.2t+1{)}^3$의 경우 미분을 위해 두 가지 접근이 가능합니다. 먼저 우항을 전개하여 미분하는 방법입니다.

t=symbols("t")
v=(3*t**2-1.2*t+1)**3
v1=expand(v)
v1

$27t^6-32.4t^5+39.96t^4-23.328t^3+13.32t^2-3.6t+1$

v1.diff(t)

$162t^5-162.0t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6$

다음은 우항의 괄호내 함수를 치환하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}& u=3t^2-1.2t+1\to \frac{du}{dx}=6t-1.2\\ & v=u^3\to \frac{dv}{du}=3u^2\end{array}$$

위와 같이 치환한 함수들의 미분의 곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있으며 연쇄법칙(Chain Rule)이라고 합니다.(식 8)

연쇄법칙 $$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{dv}{dx}=\frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}\end{array}$$

t, u=symbols("t, u")
u1=3*t**2-1.2*t+1
v=u**3
u1

$3t^2-1.2t+1$

du1_dt=u1.diff(t)
du1_dt

$6t-1.2$

dv_du=v.diff(u)
dv_du

$3u^2$

dv_dt=dv_du*du1_dt
dv_dt

$3u^2(6t-1.2)$

dv_dt.subs(u, u1)

$27(6t-1.2)(t^2-0.4t+13{)}^2$

expand(dv_dt.subs(u, u1))

$162t^5-162.0t^4+159.84t^3-69.984t^2+26.64t-3.6$

위 코드에서 expand()는 식을 전개하기 위해 사용할 수 있는 sympy 함수 입니다.

다양한 함수들의 미분 과정을 살펴봅시다.

예 1)
 다음 식은 변수에 대한 계수들이 분수 형태이므로 일반적인 미분 공식을 적용할 수 있습니다.

$$y=\frac{a}{b^2}x-\frac{a^2}{b}+\frac{a^2}{b^2}$$

x, a, b, c=symbols("x, a, b, c")
y=(a/b**2)*x**3-(a**2/b)*x+a**2/b**2
y.diff(x)

$-\frac{a^2}{b}+\frac{3a}{b^2}{x}^2$

예 2)
 다음 함수 y의 미분를 미분합니다.

$$\begin{array}{rl}y& =2a\sqrt{b{x}^3}-\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x}-\sqrt{ab}\\ \frac{dy}{dx}& =2a\sqrt{b}\frac{\sqrt{x^3}}{dx}-\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x\cdot dx}\\ & =3a\sqrt{bx}+\frac{3b\sqrt[3]{a}}{x^2}\end{array}$$

xx, a, b=symbols("x, a, b")
y=2*a*sqrt(b*x**3)-3*b*a**(Rational('1/3'))/x-2*sqrt(a*b)
y.diff(x)

$\frac{3\sqrt[3]{a}b}{x^2}+\frac{3a\sqrt{b{x}^3}}{x}$

예 3)
 다음 식에서 θ에 대한 z의 변화율을 계산해 봅니다.

$$\begin{array}{rl}z& =\frac{1.8}{\sqrt[3]{{\theta }^2}}-\frac{4.4}{\sqrt[5]{\theta }}-1\\ \frac{dz}{d\theta }& =-\frac{2\cdot 1.8}{3}{\theta }^{-\frac{2}{3}-1}-\frac{4.4}{5}{\theta }^{\frac{1}{5}-1}\\ & =-\frac{1.2}{\sqrt[3]{{\theta }^5}}-\frac{0.88}{\sqrt[5]{{\theta }^6}}\end{array}$$

theta=symbols("theta")
z=1.8*theta**(Rational('-2/3'))+4.4*theta**(Rational('-1/5'))-27
z.diff(th)

$-\frac{1.2}{\sqrt[3]{{\theta }^5}}-\frac{0.88}{\sqrt[5]{{\theta }^6}}$

예 4)
 $y=(2x-3)(x+1{)}^2$을 미분해 봅시다.

이 식의 미분은 모두 전개하여 계산할 수 있지만 위에서 소개한 곱의 미분 법칙과 연쇄 법칙을 적용하여 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}& \frac{dy}{dx}=(2x-3)\frac{d(x+1{)}^2}{dx}+(x+1{)}^2\frac{d(2x-3)}{dx}\\ & \frac{d((x+1{)}^2)}{dx}=2(x+1)\\ & \frac{dy}{dx}=(2x-3)\cdot 2(x+1)+(x+1{)}^2\cdot 2\end{array}$$

x=symbols("x")
y=(2*x-3)*(x+1)**2
dy_dx=diff(y, x)
dy_dx

$2(x+1{)}^2+(2x-3)(2x+2)$

예 5)
 $y=0.5x^3(x-3)$의 미분은 곱의 미분법칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =0.5\cdot x^2(x-3)+0.5x^3\\ & =1.5x^2(x-3)+0.5x^3\end{array}$$

x=symbols('x')
y=0.5*x**3*(x-3)
y

$0.5x^3(x-3)$

diff(y, x)

$0.5x^3+1.5x^2(x-3)$

예 6)
 다음 함수를 미분해 봅시다.

$$\begin{array}{rl}& w=(\theta +\frac{1}{\theta })(\sqrt{\theta }+\frac{1}{\sqrt{\theta }})\\ & \begin{array}{rl}\frac{dw}{d\theta }& =\frac{d}{d\theta }(\theta +\frac{1}{\theta })(\sqrt{\theta }+\frac{1}{\sqrt{\theta }})+(\theta +\frac{1}{\theta })\frac{d}{d\theta }(\sqrt{\theta }+\frac{1}{\sqrt{\theta }})\\ & =(1-\frac{1}{{\theta }^2})(\sqrt{\theta }+\frac{1}{\sqrt{\theta }})+(\theta +\frac{1}{\theta })\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{\theta }}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{{\theta }^3}})\end{array}\end{array}$$

theta=symbols('theta')
w=(theta+1/theta)*(sqrt(theta)+1/sqrt(theta))
w

$(\theta +\frac{1}{\theta })(\sqrt{\theta }+\frac{1}{\sqrt{\theta }})$

w.diff(theta)

$(1-\frac{1}{{\theta }^2})(\sqrt{\theta }+\frac{1}{\sqrt{\theta }})+(\theta +\frac{1}{\theta })\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{\theta }}-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{{\theta }^3}})$

예 7)
 함수 y를 미분합니다.

$$y=\frac{a}{a{x}^2+a\sqrt{x}+1}$$

함수 y를 미분하기 위해 나눗셈의 미분 규칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{1}{(a{x}^2+a\sqrt{x}+1{)}^2}(\frac{da}{dx}(a{x}^2+a\sqrt{x}+1)-a\frac{d(a{x}^2+a\sqrt{x}+1)}{dx})\\ & =\frac{a(-2ax-\frac{a}{2\sqrt{x}})}{{(a\sqrt{x}+a{x}^2+1)}^2}\end{array}$$

a, x=symbols('a, x')
y=a/(1+a*sqrt(x)+a*x**2)
y.diff(x)

$\frac{a(-2ax-\frac{a}{2\sqrt{x}})}{{(a\sqrt{x}+a{x}^2+1)}^2}$

예 8)
 다음 함수 y를 미분합니다. 이 식 역시 나눗셈의 형태로서 예 7과 같이 나눗셈 미분법칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}& y=\frac{x^2}{x^2+1}\\ \\ & \begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{1}{(x^2+1{)}^2}(\frac{d{x}^2}{dx}(x^2+1)-x^2\frac{d(x^2+1)}{dx})\\ & =-\frac{2x^3}{{(x^2+1)}^2}+\frac{2x}{x^2+1}\end{array}\end{array}$$

x=symbols('x')
y=x**2/(x**2+1)
y.diff(x)

$-\frac{2x^3}{{(x^2+1)}^2}+\frac{2x}{x^2+1}$

simplify(y.diff(x))

$\frac{2x}{x^4+2x^2+1}$

예 9)
 함수 y를 미분합니다.

$$y=\frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}$$

a, x=symbols('a, x')
y=(a+x**(Rational('1/2')))/(a-x**(Rational('1/2')))
y

$\frac{a+\sqrt{x}}{a-\sqrt{x}}$

de=denom(y) #분모
de

$a-\sqrt{x}$

nu=numer(y)
nu #분자

$a+\sqrt{x}$

y_diff=1/de**2*(nu.diff(x)*de-nu*de.diff(x))
simplify(y_diff)

$\frac{a}{\sqrt{x}{(a-\sqrt{x})}^2}$

위 과정 없이 직접 미분한 것과 같은 결과가 반환되어야 합니다.

simplify(y.diff(x))

$\frac{a}{\sqrt{x}{(a-\sqrt{x})}^2}$

예 10)
 다음 함수 역시 분수형태이므로 나눗셈 법칙을 적용합니다.

$$y=\frac{-a{x}^{\frac{2}{3}}+1}{a{x}^{\frac{3}{2}}+1}$$

a, x=symbols('a, x')
y=(1-a*x**(Rational('2/3')))/(1+a*x**(Rational('3/2')))
y

$\frac{-a{x}^{\frac{2}{3}}+1}{a{x}^{\frac{3}{2}}+1}$

de=denom(y)#분모 
de

$a{x}^{\frac{3}{2}}+1$

nu=numer(y)#분자 
nu

$-a{x}^{\frac{3}{2}}+1$

y_diff=1/de**2*(nu.diff(x)*de-nu*de.diff(x))
simplify(y_diff)

$\frac{a(-4a{x}^{\frac{3}{2}}+9x^{\frac{5}{6}}(a{x}^{\frac{2}{3}}-1)-4)}{6\sqrt[3]{x}{(a{x}^{\frac{3}{2}}+1)}^2}$

simplify(y.diff(x))

$\frac{a(-4a{x}^{\frac{3}{2}}+9x^{\frac{5}{6}}(a{x}^{\frac{2}{3}}-1)-4)}{6\sqrt[3]{x}{(a{x}^{\frac{3}{2}}+1)}^2}$

예 11)
 80°C 이상인 t°C에서의 포화증기압 P는 다음과 같이 나타냅니다. 100°C에서 증기압의 변화량?

$$P={\left(\frac{40+t}{140}\right)}^5$$

거듭제곱 형태의 함수를 미분하기 위해 연쇄법칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}u& =\frac{40+t}{140}\frac{dP}{dt}\\ & =\frac{dP}{du}\frac{du}{dt}\\ & =\frac{5{\left(\frac{40+t}{140}\right)}^4}{140}\\ & =\frac{5(40+t{)}^4}{{140}^5}\end{array}$$

t, u=symbols("t, u")
P=((40+t)/140)**5
dpdt=P.diff(t)
simplify(dpdt)

$\frac{{(t+40)}^4}{10756480000}$

dpdt.subs(t, 100)

$\frac{1}{28}$