역함수의 미분

함수 y = 3x의 종속 변수 y는 독립 변수 x에 의존합니다. 두 변수의 관계가 역전되는 경우는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $\displaystyle x = \frac{y}{3}$ 이러한 형태를 역함수(inverse function)이라고 합니다. 함수의 미분은 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$가 되지만 역함수의 미분은 $\displaystyle \frac{dx}{dy}$가 됩니다. 이들의 곱은 1이 됩니다. 이 과정은 다음과 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{align} y = 3x & \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3\\ x = \frac{y}{3} &\rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3}\\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} &\rightarrow \frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dy} = 1 \end{align}$$

위 과정은 다음과 같이 코드화 할 수 있습니다.

import numpy as np
import pandas as pd
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt

x, y=symbols('x y') 
eq=y-3*x 
eq

−3x+y

y1=solve(eq, y)
y1

[3*x]

y1[0].diff(x)

3

x1=solve(eq, x) 
x1

[y/3]

x1[0].diff(y)

$\quad \small \color{blue}{\frac{1}{3}}$

y1[0].diff(x)*x1[0].diff(y)

1

식 $y = 4x^2$에 대해 역함수의 미분을 시행해 봅니다.

x, y=symbols("x, y", real=True) 
eq=4*x**2-y 
eq 

4x2-2

y1=solve(eq, y)
y1

[4*x**2]

dy=[i.diff(x) for i in y1] 
dy

[8*x]

x1=solve(eq, x) 
x1

[-sqrt(y)/2, sqrt(y)/2]

dx=[i.diff(y) for i in x1] 
dx

[-1/(4*sqrt(y)), 1/(4*sqrt(y))]

dydx=[dy[0]*i for i in dx] 
dydx

[-2*x/sqrt(y), 2*x/sqrt(y)]

re=[i.subs(y, y1[0]) for i in dydx]
re

[-x/Abs(x), x/Abs(x)]

위 결과는 결국 1을 의미합니다. 따라서 역함수의 미분계수는 원함수 미분계수의 역수가 됩니다. 그러므로 원함수의 미분이 곤란할 경우 역함수 미분으로 대신할 수 있습니다. 예로 다음 함수 y의 경우 직접 미분은 복잡해 보입니다. 그러므로 이 함수의 역함수 x의 미분계수를 계산하여 그 결과의 역수에 원래의 함수를 치환하는 방식으로 미분을 실시할 수 있습니다.

$$\begin{align} y &= \sqrt{\left(\frac{3}{x}- 1 \right)}\\ x &= \left(\frac{3}{y^2+1} \right) \end{align}$$

x, y=symbols("x, y", real=True) 
eq=sqrt(3/x -1)-y 
eq

$\quad \small \color{blue}{- y + \sqrt{-1 + \frac{3}{x}}}$

y1=solve(eq, y) #원함수  
y1[0]

$\quad \small \color{blue}{\sqrt{\frac{3 - x}{x}}}$

x1=solve(eq, x) #역함수  
x1[0]

$\quad \small \color{blue}{\frac{3}{y^2+1}}$

dx=x1[0].diff(y) 
dx

$\quad \small \color{blue}{-\frac{6y}{(y^2+1)^2}}$

dy=1/dx.subs(y, y1[0]) 
dy

$\quad \small \color{blue}{- \frac{\left(1 + \frac{3 - x}{x}\right)^{2}}{6 \sqrt{\frac{3 - x}{x}}}}$

simplify(dy)

$\quad \small \color{blue}{- \frac{3}{2 x^{2} \sqrt{- \frac{x - 3}{x}}}}$

simplify(y1[0].diff(x)) #원함수

$\quad \small \color{blue}{\frac{3 \sqrt{\frac{3 - x}{x}}}{2 x \left(x - 3\right)}}$