삼각함수의 미분

내용

• sin, cos, tan의 미분
• 2차미분과 역함수 미분
  • 삼각함수의 2차미분
  • sin, cos, tan 함수의 미분규칙
  • 역함수의 미분
  • 역삼각함수의 미분규칙

삼각함수(trigonometric functions)의 미분

sin, cos, tan의 미분

일반적으로 각을 표시하기 위해 그리스 문자 θ으로 사용합니다. 다음 함수를 고려해 봅니다.

y = sin(θ)

이 함수에서 조사할 것은 그 함수의 변화량 (미분 계수) $\frac{d(\sin (\theta ))}{d\theta }$ 입니다. 즉, 각도 θ와 sin(θ)의 변화 사이의 관계를 찾는 것입니다. 특히 증가가 무한히 작을 경우가 주된 관심 사항입니다. 이러한 관계를 그림 1에 나타내었습니다.

import numpy as np
import pandas as pd
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(5, 5))
a=plt.axes(xlim=(-1.5, 2.5), ylim=(-1.5, 2.5))
r=plt.Circle((0, 0), 1, facecolor="none", edgecolor="navy", linewidth=2, label="radius=r")
a.add_patch(r)
plt.arrow(0, 0, 0.8, np.sqrt(1-(-0.8)**2), color="green", label=r"$\mathbf{degree=\theta}}$")
plt.arrow(0, 0, 0.7, np.sqrt(1-(-0.7)**2), color="red", label=r"$\mathbf{degree=\theta+\Delta\theta}}$")
plt.hlines(0, -1.5, 1.5, color="black")
plt.vlines(0, -1.5, 1.5, color="black")
plt.vlines(0.7, 0,np.sqrt(1-(-0.7)**2), linestyle="--", color="red", label=r"$\mathbf{y+\Delta y}}$")
plt.vlines(0.8,0, np.sqrt(1-(-0.8)**2), linestyle="--", color="green", label=r"$\mathbf{y}}$")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold"})
plt.text(0.5, -0.2, "X", size=12, weight="bold")
plt.text(-0.2, 0.5,"Y", size=12, weight="bold")
plt.xticks([]) 
plt.yticks([])
plt.show()

그림 1. 원에서 각도의 변화.

그림 1은 반지름 r의 원에서 y는 높이, θ 각을 나타낼 수 있으며 r = 1인 경우 높이와 각 사이 y= sin(θ) 관계가 성립합니다. θ 변화에 따른 sin(θ) 즉, 높이의 변화를 dy(Δ y)라 할 수 있습니다. 새로운 높이는 y+dy가 되고 각은 θ+dθ 될 것입니다.

$$\begin{array}{rl}y+dy& =\sin (\theta +d\theta )\\ \to dy& =\sin (\theta +d\theta )-\sin (\theta )\end{array}$$

위 식의 우항은 삼각함수의 합법칙을 적용하여 식 1과 같이 전개할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(1)}& & \sin (m)-\sin (n)=2\cos \left(\frac{m+n}{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{m-n}{2}\right)& \to \hspace{1em}m=\theta +d\theta ,\hspace{1em}n=\theta \\ & \begin{array}{rl}dy& =2\cos \left(\frac{\theta +d\theta +\theta }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\theta +d\theta -\theta }{2}\right)\\ & =2\cos (\theta +\frac{1}{2}d\theta )\cdot \sin \left(\frac{1}{2}d\theta \right)\end{array}\end{array}$$

$\theta$ 무한히 작다면 다음 코드의 결과와 같이 그 값의 크기는 무시 가능하므로 위 식에서 $\theta +\frac{1}{2}d\theta \approx \theta$로 간주할 수 있으며 또한 각($\theta$)과 $\sin (\theta )$ 값이 거의 일치하기 때문에 $\sin \left(\frac{1}{2}\theta \right)\approx \frac{1}{2}\theta$이 성립합니다.

th=[0.001,0.0001, 0.00001, 0.000001]
rad=np.deg2rad(th)
np.around(rad, 8)

array([1.745e-05, 1.750e-06, 1.700e-07, 2.000e-08])

val=[N(sin(i), 8) for i in rad]
pd.DataFrame([rad, val], index=["radian", "sin(x)"])

	0	1	2	3
radian	0.000017	0.000002	0.0	0.0
sin(x)	1.74e-5	1.74e-6	1.74e-7	1.74e-8

그러므로 위 식은 다음과 같이 정리 됩니다.

$$\begin{array}{rl}dy& =\frac{2\cos (\theta )}{2}d\theta \\ \frac{dy}{d\theta }& =\cos (\theta )\end{array}$$

위 함수 $y=\sin (\theta )$와 미분 함수인 $\cos (\theta )$는 각각 그림 2와 같습니다.

그림 2. sin(θ)와 미분 곡선.

식 1과 동일한 과정으로 y=cos(θ)와 y=tan(θ)의 미분을 유도하면 각각 식2와 3과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(2)}& \cos (\theta )& =\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )y& =\cos (\theta )\\ dy& =d(\sin (\frac{\pi }{2}-\theta ))\\ & =\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot d(-\theta )\\ & =-\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\cdot d(\theta )\\ \therefore \frac{dy}{d\theta }& =-\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )\\ & =-\sin (\theta )\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{(3)}& y& =\tan (\theta )& =\frac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}\\ \frac{dy}{d\theta }& =\frac{d(\sin (\theta ))\cos (\theta )-\sin (\theta )d(\cos (\theta ))}{{\cos }^2(\theta )}\\ & =\frac{\cos (\theta )\cos (\theta )+\sin (\theta )\sin (\theta )}{{\cos }^2(\theta )}\\ & =\frac{{\cos }^2(\theta )+{\sin }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}\\ & =\frac{1}{{\cos }^2(\theta )}\\ & ={\sec }^2(\theta )\end{array}$$

simpy 함수 diff()를 삼각함수의 미분에 적용할 수 있습니다.

theta=symbols("theta")
diff(sin(theta))

$\cos \left(\theta \right)$

diff(cos(theta))

$-\sin \left(\theta \right)$

diff(tan(theta))

${\tan }^2\left(\theta \right)+1$

위 결과 tan²(θ)+1를 정리하면 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}{\tan }^2(\theta )+1& =\frac{{\sin }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}+1\\ & =\frac{1-{\cos }^2(\theta )}{{\cos }^2(\theta )}+1\\ & =\frac{1}{{\cos }^2(\theta )}\\ & ={\sec }^2(\theta )\end{array}$$

simplify(diff(tan(theta)))

$\frac{1}{{\cos }^2\left(\theta \right)}$

원의 총 각도는 2π 또는 360도 입니다. 어떤 총 기간을 T로 할 때 일정한 시간 t에 따라 각도의 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\theta =2\pi \frac{t}{T}$$

초당 주기(T)의 수를 주파수(frequency, n)라고 하면 $n=\frac{1}{T}$의 관계를 갖습니다. 이 관계를 위 식에 대입하면 다음과 같이 표현됩니다.

$$\theta =2\pi nt$$

예)
  함수 $y=\sin (2\pi nt)$를 미분 합니다.

이 식의 변수는 $\theta$가 아닌 시간 t에 대해 미분하기 위해 다음 관계를 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dt}& =\frac{dy}{d\theta }\frac{d\theta }{dt}\\ \to y& =\sin (\theta ),\theta =2\pi nt\\ \frac{dy}{dt}& =\cos (\theta )2n\pi \\ & =2n\pi \cos (2\pi nt)\end{array}$$

n, t=symbols("n, t")
y=cos(2*pi*n*t)
y.diff(t)

$-2\pi n\sin \left(2\pi nt\right)$

2차미분과 역함수 미분

삼각함수의 2차미분

sin과 cos의 미분은 각각 상호간의 함수가 전환됩니다. 이 관계를 사용하여 각 함수의 2차 미분을 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(4)}& \frac{d(\sin (\theta ))}{d\theta }& =\cos (\theta )\frac{d^2(\sin (\theta ))}{d{\theta }^2}& =\frac{d(\cos (\theta ))}{d\theta }\\ & =-\sin (\theta )\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{(5)}& \frac{d(\cos (\theta ))}{d\theta }& =-\sin (\theta )\frac{d^2(\cos (\theta ))}{d{\theta }^2}& =-\frac{d(\sin (\theta ))}{d\theta }\\ & =-\cos (\theta )\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\text{(6)}& \frac{d^2(\tan (\theta ))}{d\theta }& =\frac{d\left(\frac{1}{{\cos }^2(\theta )}\right)}{d\theta }& =\frac{2\cos (\theta )\sin (\theta )}{{\cos }^4(\theta )}\\ & =\frac{2\tan (\theta )}{{\cos }^2(\theta )}\\ & =2\tan (\theta ){\sec }^2(\theta )\end{array}$$

theta=symbols("theta")
diff(sin(theta), theta, 2)

$-\sin \left(\theta \right)$

diff(cos(theta), theta, 2)

$-\cos \left(\theta \right)$

simplify(diff(tan(theta), theta, 2))

$\frac{2\tan \left(\theta \right)}{{\cos }^2\left(\theta \right)}$

sin(x), cos(x)함수의 2차 미분계수는 원함수와 부호만 반대인 결과를 갖습니다.

표 1. sin, cos, tan 함수의 미분규칙

함수(y)	1차 미분$\left(\frac{dy}{d\theta }\right)$	2차 미분$\left(\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}\right)$
sin(θ)	cos(θ)	-sin(θ)
cos(θ)	-sin(θ)	-cos(θ)
tan(θ)	sec2(θ)	2tan(θ)sec2(θ)

역함수의 미분

식 7은 sin, cos, tan의 역함수를 나타낸 것입니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(7)}& & y=\arcsin (x)\iff y={\sin }^{-1}(x)\iff x=\sin (y)& y=\arccos (x)\iff y={\cos }^{-1}(x)\iff x=\cos (y)\\ & y=\arctan (x)\iff y={\tan }^{-1}(x)\iff x=\tan (y)\end{array}$$

예를 들어 $y={\sin }^{-1}(x)$는 x = sin(y)를 의미합니다. 이 삼각함수의 역함수의 미분은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}y={\sin }^{-1}(x)& \iff x=\sin (y)\\ \frac{dx}{dy}& =\cos (y)\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\cos (y)}\end{array}$$

삼각함수의 합공식 sin²(y) + cos²(y) = 1을 적용하여 위 결과를 정리할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\cos (y)& =\sqrt{1-{\sin }^2(y)}\\ & =\sqrt{1-x^2}\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\cos (y)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

x, y=symbols("x, y")
eq=y-asin(x) #원 식 
eq_x=solve(eq, x) #원 식을 x에 대해 정리(역함수) 
eq_x

[sin(y)]

eq_y=solve(eq, y) #원 식을 y에 대해 정리
eq_y

[asin(x)]

dxdy=eq_x[0].diff(y) # 역함수 미분 
dxdy

$\cos \left(y\right)$

(1/dxdy).subs(y, eq_y[0])

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

eq_y[0].diff(x)#원 함수 미분

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

예)
  cos^-1(x)의 미분합니다.

이 함수 역시 위의 sin^-1(x)와 동일한 방식으로 계산할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}y={\cos }^{-1}(x)& \to x=\cos (y)\\ \frac{dx}{dy}& =-\sin (y)\\ & =-\sqrt{1-{\cos }^2(y)}\\ \frac{dy}{dx}& =-\frac{1}{\sin (y)}\\ & =-\frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2(y)}}\\ & =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\end{array}$$

x, y=symbols("x, y") 
eq=y-acos(x) 
eq_x=solve(eq, x) 
eq_x

[cos(y)]

eq_y=solve(eq, y) #원 식을 y에 대해 정리 
eq_y

[acos(x)]

dxdy=eq_x[0].diff(y) # 역함수 미분  
dxdy

$-\sin \left(y\right)$

(1/dxdy).subs(y, eq_y[0])

$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

eq_y[0].diff(x)#원 함수 미분

$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

예)
  tan^-1(x)의 미분합니다.

$$\begin{array}{rl}y={\tan }^{-1}(x)& \to x=\tan (y)=\frac{\sin (y)}{\cos (y)}\\ \frac{dx}{dy}& =\frac{1}{{\cos }^2(y)}\\ & =\frac{{\sin }^2(y)+{\cos }^2(y)}{{\cos }^2(y)}\\ & =1+{\tan }^2(y)\\ & =1+x^2\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

x= symbols("x")
diff(atan(x))

$\frac{1}{x^2+1}$

표 2. 역삼각함수의 미분규칙

함수(y)	1차 미분$\left(\frac{dy}{dx}\right)$
sin-1(x)	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
cos-1(x)	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
tan-1(x)	$\frac{1}{1+x^2}$

예)
  y = cos³(θ)을 미분해 봅니다.

이 식에서 cos³(θ) = (cos(θ))³이 성립하므로 cos(θ) = u로 치환하여 미분할 수 있습니다.

theta, u=symbols("theta u")
u1=cos(theta)
y=u**3
dydu=y.diff(u)
dydu

$3u^2$

dudth=u1.diff(theta)
dudth

$-\sin \left(\theta \right)$

dydth=dydu*dudth
dydth

$-3u^2\sin \left(\theta \right)$

dydth.subs(u, u1)

$-3\sin \left(\theta \right){\cos }^2\left(\theta \right)$

diff(cos(theta)**3, theta) #원 함수를 직접미분

$-3\sin \left(\theta \right){\cos }^2\left(\theta \right)$

예)
 y = sin(x+a)를 미분합니다.

이 함수 역시 치환 방법을 적용합니다. 이 문제에 대한 미분 과정은 다음과 같습니다.

$$\begin{array}{rl}& u=x+a\to y=\sin (u)\\ & \frac{du}{dx}=1\\ & \frac{dy}{du}=\cos (u)\\ & \frac{dy}{du}\frac{du}{dx}=\cos (u)\frac{du}{dx}\\ & \therefore \frac{dy}{dx}=\cos (x+a)\end{array}$$

a, x=symbols("a x")
y=sin(x+a)
y.diff(x)

$\cos (a+x)$

결과적으로 치환한 부분의 미분과 전체 미분을 곱한 것과 같습니다.

예)
  y = log(sin(θ))를 미분합니다. sin(θ) = u로 치환하면 y = log(u)이 됩니다.

theta, u=symbols("theta u")
y=log(sin(theta))#원 함수 
y.diff(theta)

$\frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}$

u1=sin(theta) #원함수의 부분을 u(=u1)로 치환 
y1=log(u)
dydu=y1.diff(u)
dydu

$\frac{1}{u}$

dudth=u1.diff(theta)
dudth

$\cos \left(\theta \right)$

dydth=dydu*dudth
dydth

$\frac{\cos \left(\theta \right)}{u}$

dydth.subs(u, u1)

$\frac{\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}$

예)
 y = cot(θ)를 미분합니다.

$$\begin{array}{rl}y& =\cot (\theta )\\ \hspace{1em}\hspace{1em}\hspace{1em}& =\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{-{\sin }^2(\theta )-{\cos }^2(\theta )}{{\sin }^2(\theta )}\\ & =\frac{-1}{{\sin }^2(\theta )}\\ & =-{\csc }^2(\theta )\end{array}$$

theta=symbols("theta")
y=cot(theta)
dy=diff(y, theta)
simplify(dy)

$-\frac{1}{{\sin }^2\left(\theta \right)}$

예)
 y=tan(3θ)를 미분합니다.

theta=symbols("theta")
y=tan(3*theta)
dy=diff(y, theta)
simplify(dy)

$\frac{3}{{\cos }^2\left(3\theta \right)}$

예)
 $y=\sqrt{1+3{\tan }^2(\theta )}$를 미분합니다.

이 함수에서 $3{\tan }^2(\theta )=u$로 치환할 수 있습니다.

theta, u=symbols("theta u")
y=sqrt(1+3*tan(theta)**2)
y.diff(theta)

$\frac{3(2{\tan }^2\left(\theta \right)+2)\tan \left(\theta \right)}{2\sqrt{3{\tan }^2\left(\theta \right)+1}}$

u1=3*tan(theta)**2
y1=sqrt(1+u)
dydu=y1.diff(u)
dydu

$\frac{1}{2\sqrt{u+1}}$

dudth=u1.diff(theta)
dudth

$3(2{\tan }^2\left(\theta \right)+2)\tan \left(\theta \right)$

dydth=dydu*dudth
dydth

$\frac{3(2{\tan }^2\left(\theta \right)+2)\tan \left(\theta \right)}{2\sqrt{u+1}}$

dydth.subs(u, u1)

$\frac{3(2{\tan }^2\left(\theta \right)+2)\tan \left(\theta \right)}{2\sqrt{3{\tan }^2\left(\theta \right)+1}}$

예)
 y = sin(x)cos(x)를 미분합니다.

이 함수의 미분은 곱법칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}y=A(x)B(x)& \to \frac{dy}{dx}=A^{\prime }(x)B(x)+A(x)B^{\prime }(x)\\ \frac{dy}{dx}& =d(\sin (x))\cos (x)+\sin (x)d(\cos (x))\\ & ={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)\end{array}$$

x=symbols("x")
y=sin(x)*cos(x)
dy=diff(y, x)
dy

$-{\sin }^2\left(x\right)+{\cos }^2\left(x\right)$