지수와 로그 함수의 미분

내용

• 지수와 로그 함수의 미분
• 로그 곡선(Logarithmic Curve)

지수와 로그 함수의 미분

지수와 로그가 포함된 함수들을 미분합니다. 다음은 로그 함수입니다.

$$y={\log }_{e}x\text{또는}\log (x)$$

위 함수 y의 역함수는 지수함수가 됩니다. 지수 급수의 미분은 원래 형태와 같으므로 식 1과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(1)}& y& ={\log }_{e}x\to e^y=x{e}^y& =\frac{dx}{dy}\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ & =\frac{1}{e^y}\\ & =\frac{1}{x}\end{array}$$

결과적으로 로그함수의 미분은 식 2와 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{d({\log }_{e}x)}{dx}=\frac{dy}{dx}=x^{-1}\end{array}$$

import numpy as np
import pandas as pd
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt

예 1)  ${\displaystyle y=\log (x+a)}$를 미분합니다.

$$\begin{array}{rl}x+a& =e^y\\ \frac{d(x+a)}{dy}& =e^y\to \frac{dx}{dy}=e^y\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{e^y}\\ & =\frac{1}{x+a}\end{array}$$

a, x=symbols('a, x')
y=log(x+a)
diff(y, x)

$\frac{1}{a+x}$

예 2)  $y={\log }_{10}x$를 미분합니다.

이 함수는 대수로그입니다. 대수로그를 자연로그로 변환하기 위해 다음 식 1에서 나타낸 로그 규칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{e}b}{{\log }_{e}a}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}y& ={\log }_{10}x\\ & =\frac{{\log }_{e}x}{{\log }_{e}10}\\ & =\frac{1}{{\log }_{e}10}{\log }_{e}x\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{1}{{\log }_{e}10}\frac{1}{x}\end{array}$$

a, x=symbols('a, x')
y=log(x, 10)
dy=diff(y, x)
dy

$\frac{1}{x\log \left(10\right)}$

N(dy, 5)

$\frac{0.43429}{x}$

지수함수와 유사한 형태이지만 e 대신 다른 수에 대한 x 거듭제곱 형태의 미분에 대해 알아봅니다. 즉, y=a^x (a: 상수)형태의 함수로서 위에서 소개한 로그 규칙(식 9)을 적용하여 자연로그로 전환하여 미분 계산을 할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}y& =a^x\\ {\log }_{e}y& =x\cdot {\log }_{e}a\\ x& =\frac{lo{g}_{e}y}{x\cdot {\log }_{e}10}\\ \frac{dx}{dy}& =\frac{1}{{\log }_{e}a}\frac{1}{y}\\ & =\frac{1}{{\log }_{e}a\cdot a^x}\\ \frac{dy}{dx}& ={\log }_{e}a\cdot a^x\end{array}$$

a, x=symbols('a, x')
y=a**x
dy=diff(y, x)
dy

$a^x\log \left(a\right)$

예 3)  다음 함수들의 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$를 계산하여 봅니다.

(1) $y=e^{-ax}$는 두 가지 방법을 적용할 수 있습니다. $$\begin{array}{rl}\text{방법 1}& \\ & \begin{array}{rl}-ax=z& \to y=e^z\\ \frac{dy}{dz}=e^z& ,\frac{dy}{dx}=-a\\ \therefore & \frac{dy}{dx}=-a·e^{-ax}\end{array}\\ \text{방법 2}& \\ & \begin{array}{rl}{\log }_{e}y& =-ax\\ d({\log }_{e}y)dy& =d(-ax)dx\\ \frac{dy}{y}& =-a·dx\\ \frac{dy}{dx}& =-ay\\ & =-a\cdot e^{-ax}\end{array}\end{array}$$

a, x=symbols('a, x')
y=exp(-a*x)
dy=diff(y, x)
dy

$-a{e}^{-ax}$

(2)${\displaystyle y=e^{\frac{2x}{x+1}}}$의 미분

$$\begin{array}{rl}{\log }_{e}y& =\frac{2x}{x+1}\\ d({\log }_{e}y)dy& =d\left(\frac{2x}{x+1}\right)dx\end{array}$$

a, x=symbols('a, x')
y=exp(2*x/(x+1))
dy=diff(y, x)
dy

$(-\frac{2x}{{(x+1)}^2}+\frac{2}{x+1})e^{\frac{2x}{x+1}}$

(3)${\displaystyle y=e^{\sqrt{x^2+a}}}$

위의 함수 중 ${\displaystyle \sqrt{x^2+a}}$의 미분은 연쇄법칙을 적용합니다.

$$\begin{array}{rl}y& =\exp (\sqrt{x^2+a})\\ {\log }_{e}y& =\sqrt{x^2+a}\\ d({\log }_{e}y)dy& =d(\sqrt{x^2+a})dx\\ \frac{1}{y}dy& =\frac{2x}{2\sqrt{x^2+a}}dx\\ \frac{dy}{dx}& =\frac{y}{\sqrt{x(x^2+a)}}\\ & =\frac{x\cdot \exp (\sqrt{x^2+a})}{\sqrt{x^2+a}}\end{array}$$

a, x, u=symbols('a, x, u') 
y=exp(u) 
u1=sqrt(x**2+a) 
dydu=diff(y, u) 
dydu

$e^u$

dudx=diff(u1, x) 
dudx

$\frac{x}{\sqrt{a+x^2}}$

dydx=(dydu)*(dudx) 
dydx

$\frac{x{e}^u}{\sqrt{a+x^2}}$

dydx.subs(u, u1)

$\frac{x{e}^{\sqrt{a+x^2}}}{\sqrt{a+x^2}}$

위 함수를 diff()에 직접 적용할 수 있습니다.

yo=exp(sqrt(x**2+a))
yo.diff(x)

$\frac{x{e}^{\sqrt{a+x^2}}}{\sqrt{a+x^2}}$

(4)${\displaystyle y=\log (a+x^3)}$의 미분은 ${\displaystyle a+x^3=u}$로 치환하여 실행합니다.

a, x, u=symbols('a, x, u') 
y=log(u) 
u1=a+x**3 
dydu=diff(y, u) 
dydu

$\frac{1}{u}$

dudx=diff(u1, x) 
dudx

$3x^2$

dydx=(dydu)*(dudx) 
dydx

$\frac{3x^2}{u}$

dydx.subs(u, u1)

$\frac{3x^2}{a+x^3}$

yo=log(a+x**3) 
yo.diff(x)

$\frac{3x^2}{a+x^3}$

(5)${\displaystyle y=\log (3x^2+\sqrt{a+x^2})}$

위 함수의 미분은 ${\displaystyle 3x^2+\sqrt{a+x^2}=u}$로 치환하여 실행합니다.

a, x, u=symbols('a, x, u') 
yo=log(3*x**2+sqrt((a+x**2)))
yo.diff("x")

$\frac{6x+\frac{x}{\sqrt{a+x^2}}}{3x^2+\sqrt{a+x^2}}$

y=log(u)
dydu=y.diff(u)
dydu

$\frac{1}{u}$

u1=3*x**2+sqrt((a+x**2))
dudx=u1.diff(x)
dudx

$6x+\frac{x}{\sqrt{a+x^2}}$

dydx=dydu*dudx
dydx

$\frac{6x+\frac{x}{\sqrt{a+x^2}}}{u}$

dydx.subs(u, u1)

$\frac{6x+\frac{x}{\sqrt{a+x^2}}}{3x^2+\sqrt{a+x^2}}$

(5) ${\displaystyle y=(x+3{)}^2\sqrt{x-2}}$

위 함수의 미분은 양변에 로그화하여 미분을 실시합니다. 이 함수는 종속 변수 y와 독립 변수 x에 대한 모든 미분을 고려해야 합니다. 즉, 다음과 같은 음함수를 고려해야 합니다.

$$\begin{array}{rl}\log (y)& =\log ((x+3{)}^2\sqrt{x-2})\\ \to & d(\log (y))dy=d(\log ((x+3{)}^2\sqrt{x-2}))dx\end{array}$$

음함수 형태의 미분은 sympy 함수 idiff()를 적용합니다. 물론 원함수를 diff()에 적용해도 동일한 결과를 나타냅니다.

a, x, y=symbols('a, x, y')
yo=(x+3)**2*sqrt(x-2)
dyo=yo.diff(x)
simplify(dyo)

$\frac{5(x-1)(x+3)}{2\sqrt{x-2}}$

#양변을 로그화하여 미분을 실시 
eq=log(y)-log((x+3)**2*sqrt(x-2))
deq=idiff(eq, y, x)
deq

$\frac{5y(x-1)}{2(x^2+x-6)}$

simplify(deq.subs(y, yo))

$\frac{5(x^2+2x-3)}{2\sqrt{x-2}}$

(6) ${\displaystyle y=\frac{\sqrt{a+x^2}}{\sqrt[3]{x^3-a}}}$

함수 y는 분수 형태로 로그화하여 계산할 수 있습니다. 또한 미분의 나눗셈 법칙을 적용할 수 있습니다.

a, x, y=symbols('a, x, y')
yo=sqrt(x**2+a)/(x**3-a)**(Rational('1/3'))
yo

$\frac{\sqrt{a+x^2}}{\sqrt[3]{-a+x^3}}$

dyo=yo.diff(x) #원함수의 미분
simplify(dyo)

$-\frac{ax(x+1)}{{(-a+x^3)}^{\frac{4}{3}}\sqrt{a+x^2}}$

eq=log(y)-log(sqrt(x**2+a))+log((x**3-a)**(Rational('1/3')))
eq #원 함수를 로그화

$\log \left(y\right)+\log \left(\sqrt[3]{-a+x^3}\right)-\log \left(\sqrt{a+x^2}\right)$

deq=idiff(eq, y, x)
deq

$\frac{axy(x+1)}{a^2-a{x}^3+a{x}^2-x^5}$

deq=deq.subs(y, yo)
simplify(deq)

$\frac{ax\sqrt{a+x^2}(x+1)}{\sqrt[3]{-a+x^3}(a^2-a{x}^3+a{x}^2-x^5)}$

위 결과에 의하면 원래의 함수와 로그화로 변환된 함수의 미분의 형태는 같지 않습니다. 그러나 정의적으로 두 결과는 같아야 합니다. 이를 확인하기 위해 일정한 값을 대응 시켜봅니다.

dyo.subs({a:1, x:3})==deq.subs({a:1, x:3})

True

나눗셈 규칙을 적용합니다.

ynu=numer(yo)
ynu

$\sqrt{a+x^2}$

yde=denom(yo)
yde

$\sqrt[3]{-a+x^3}$

dy=(ynu.diff(x)*(yde)-(ynu*yde.diff(x)))/yde**2
simplify(dy)

$-\frac{ax(x+1)}{{(-a+x^3)}^{\frac{4}{3}}\sqrt{a+x^2}}$

(7) ${\displaystyle y={\left(\frac{1}{a^x}\right)}^{ax}}$

a, x, y=symbols('a, x, y')
yo=(1/a**x)**(a*x)
yo

$(a^{-x}{)}^{ax}$

dyo=yo.diff(x) #원함수의 미분
dyo

$(-ax\log \left(a\right)+a\log \left(a^{-x}\right)){\left(a^{-x}\right)}^{ax}$

eq=log(y)-log((1/a**x)**(a*x))
eq

$\log \left(y\right)-\log \left({\left(a^{-x}\right)}^{ax}\right)$

deq=idiff(eq, y, x)
deq

$ay(-x\log \left(a\right)+\log \left(a^{-x}\right))$

deq=deq.subs(y, yo)
deq

$a(-x\log \left(a\right)+\log \left(a^{-x}\right)){\left(a^{-x}\right)}^{ax}$

로그 곡선(Logarithmic Curve)

방정식 $y=b{p}^x$의 그래프를 작성해봅니다. b는 y의 초기값이며 x에 따른 y의 변화는 다음과 같습니다.

b, p, x=symbols('b, p, x')
y=b*p**x
re={}
for i in range(6):
    re[i]=y.subs(x, i)
re

{0: b, 1: b*p, 2: b*p**2, 3: b*p**3, 4: b*p**4, 5: b*p**5}

위 결과를 표의 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

x	0	1	2	3	4	5
y	b	bp	${\text{bp}}^2$	${\text{bp}}^3$	${\text{bp}}^4$	${\text{bp}}^5$

그림 1은 b=2, p=1.5로 치환한 상태에서 위 코드의 지수함수와 그 함수를 로그화한 경우를 작성한 것입니다. 지수함수의 경우 y 값은 x에 따라 p배 만큼의 변화를 보입니다. 이와 같이 두 개의 연속하는 좌표들이 일정한 비율로 연결된 경우 그 식을 로그화하면 일정한 변화를 보입니다.

plt.figure(dpi=100)
x=np.linspace(0, 6, 100)
y=2*1.5**x
y1=np.log(2)+x*log(1.2)
plt.plot(x, y, label=r"$\mathbf{y=2 \cdot 1.5^x}$")
plt.plot(x, y1, label=r"$\mathbf{\log(y)=\log(2)+ x\log(1.5)}$")
plt.xlabel("x", size=12, weight="bold")
plt.ylabel("y, log(y)", size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best")
plt.grid(True)
plt.show()

그림 1. 지수함수와 그 함수를 로그화한 함수.

결과적으로 지수함수를 로그함수로 전환하면 y축 역시 log(y)로 전환하여 기울기가 상수인 직선의 방정식으로 나타낼 수 있습니다.