내용
극대와 극소의 결정
곡선으로부터 계산되는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$는 곡선의 기울기를 의미합니다. 기울기를 다시 한번 더 미분한 결과 $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$는 그 기울기의 단위 길이 당 변화하는 비율(rate)을 의미합니다. 간단히 말해서 경사의 곡률(curvature)을 측정 한 것입니다.
import numpy as np import pandas as pd from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt
그림 1의 (a)는 직선과 (b)는 곡선을 나타낸 것입니다.
plt.figure(dpi=60)
x=np.linspace(-1, 5, 100)
y1=x+1
y2=x**2+1
plt.plot(x, y1, label="(a)")
plt.plot(x, y2, label="(b)")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold"})
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
plt.figure(dpi=60)
x=np.linspace(-1, 5, 100)
y1=x+1
y2=x**2+1
plt.plot(x, y1, label="(a)")
plt.plot(x, y2, label="(b)")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold"})
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
그림 1(a)의 경우 기울기는 상수입니다. 그러므로 기울기의 미분계수는 0이 됩니다.
$$\begin{align} &\frac{dy}{dx}=\text{constant}\\ &\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2}=0 \end{align}$$그림 1(b)는 이차항의 계수가 양수인 이차곡선으로 접선의 기울기는 상수가 아닙니다. 그러므로 곡선위의 임의의 점에서의 접선의 기울기에 대한 미분계수 즉, 곡률은 증가합니다.
$$\frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx}=\frac{d^2y}{dx^2} \gt 0$$그림 2 (a)의 함수 f(x)는 로그함수와 같은 형상으로 우상향 합니다. 그러나 (b)에 나타낸 것과 같이 그 함수의 각 점에서의 미분계수는 x의 증가와 함께 감소되고 있음을 나타냅니다. 그러므로 그림 2(b)의 각 점에서의 접선의 기울기인 x에 대한 y의 2차 미분계수는 음수가 됩니다.
rng=np.linspace(1, 50, 100)
y1=[y.subs(x, i) for i in rng]
dy1=[dy.subs(x, i) for i in rng]
plt.figure(dpi=100)
plt.plot(rng, y1, color="blue", label="(a) f(x)")
plt.plot(rng, dy1, color="red", label="(b) dy/dx")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold", "size":12})
plt.show()
위에서 소개한 그래프들의 기울기의 변화는 이차 미분 계수에 의해 반영됩니다. 그러므로 이차 미분 계수의 부호는 극대와 극소를 결정할 수 있는 단서를 제공합니다. 예를 들어 이차 미분 계수가 양수이면 그래프는 증가하고 음수일 경우 감소한다는 것을 의미합니다. 표 1과 같이 이차미분계수의 부호와 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$인 지점에서 함수의 극값을 결정할 수 있습니다.
| $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$ | $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ | 극값 |
|---|---|---|
| + | 0 | 기울기의 증가, 극소값 |
| - | 0 | 기울기의 감소, 극대값 |
그림 3은 $\displaystyle y = 0.3(x-3)^2 + 1$에 대한 그래프로서 위쪽으로 오목하며 x = 3인 지점에서 극소점을 나타냅니다. 또한 x가 증가할수록 그 식에 대한 접선의 기울기 즉, y의 이차 미분계수는 증가를 나타냅니다.
x=Symbol("x")
y= 0.3*(x-3)**2 + 1
y
0.3(𝑥−3)2+1
dy=y.diff(x) dy
0.6x−1.8
xEx=solve(dy) xEx
[3.00000000000000]
yEx=[y.subs(x, i) for i in xEx] yEx
[1]
dy2=y.diff(x, 2) dy2
0.6
rng=np.linspace(-10, 10, 100)
y1=[y.subs(x, i) for i in rng]
dy1=[dy.subs(x, i) for i in rng]
plt.figure(figsize=(10, 4), dpi=100)
plt.plot(rng, y1, color="blue", label="f(x)")
plt.plot(rng, dy1, color="red", label="dy/dx")
plt.scatter(xEx, yEx, label="Minimum",color="black")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.text(xEx[0]-1, yEx[0]+1, f"({N(xEx[0],1)}, {yEx[0]})", size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold", "size":12})
plt.grid(True)
plt.show()
그림 4는 $y = -0.3(x-3)^2 + 4$를 그래프화한 것으로 볼록한 모양을 나타냅니다. 이 곡선은 x = 3인 지점에서 극대점을 나타냅니다. 또한 x가 증가할수록 그 식에 대한 접선의 기울기 즉, y의 이차 미분계수는 감소를 나타냅니다.
x=Symbol("x")
y = -0.3*(x-3)**2 + 4
y
4−0.3(𝑥−3)2
dy=y.diff(x) dy
1.8−0.6𝑥
xEx=solve(dy) xEx
[3.00000000000000]
yEx=[y.subs(x, i) for i in xEx] yEx
[4]
dy2=y.diff(x, 2) dy2
−0.6
rng=np.linspace(-10, 10, 100)
y1=[y.subs(x, i) for i in rng]
dy1=[dy.subs(x, i) for i in rng]
plt.figure(figsize=(10, 4), dpi=100)
plt.plot(rng, y1, color="blue", label="f(x)")
plt.plot(rng, dy1, color="red", label="dy/dx")
plt.scatter(xEx, yEx, label="Maximum",color="black")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.text(xEx[0]-1, yEx[0]+1, f"({N(xEx[0],1)}, {yEx[0]})", size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold", "size":12})
plt.grid(True)
plt.show()
예 1)
이차 미분계수를 적용하여 다음 식들의 극소 또는 극대값을 결정을 위한 몇 가지 예를 봅시다.
(1) y = 4x2 - 9x - 6
x=Symbol("x")
y = 4*x**2-9*x-6
y
4𝑥2−9𝑥−6
dy=y.diff(x) dy
8𝑥−9
xEx=solve(dy) xEx
[9/8]
yEx=[y.subs(x, i) for i in xEx] yEx
[-177/16]
dy2=y.diff(x, 2) dy2
8
위 코드의 결과는 이차 미분계수가 양수입니다. 즉, 곡률은 증가하는 상태이므로 극소값임을 의미합니다. 이 결과는 극값 주위를 값들에 대응되는 y 값들의 비교로 극소임을 확인해 봅니다.
rng=[0, 0.5, 1, 9/8, 12/8, 2] yrng=[N(y.subs(x, i), 3) for i in rng] pd.DataFrame([rng, yrng], index=["범위(x)", "대응값(y)"])
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 범위(x) | 0 | 0.5 | 1 | 1.125 | 1.5 | 2 |
| 대응값(y) | -6.00 | -9.50 | -11.0 | -11.1 | -10.5 | -8.00 |
위 결과는 x=3에서 최소인 y를 나타내고 있습니다.
(2) y = x3 - 3x + 16
x=Symbol("x")
y = x**3 - 3*x + 16
y
𝑥3−3𝑥+16
dy=y.diff(x) dy
3𝑥2−3
xEx=solve(dy) xEx
[-1, 1]
yEx=[y.subs(x, i) for i in xEx] yEx
[18, 14]
dy2=y.diff(x, 2) dy2
6𝑥
xEx=np.array(xEx, dtype=float) rng=np.unique(np.sort(np.append(np.linspace(np.min(xEx)-2, np.max(xEx)+2, 5), xEx))) rng
array([-3. , -1.5, -1. , 0. , 1. , 1.5, 3. ])
yrng=[N(y.subs(x, i), 3) for i in rng] dy2rng=[N(dy2.subs(x, i), 3) for i in rng] pd.DataFrame([rng, yrng, dy2rng], index=["범위(x)", "대응값(y)","d2y/dx"])
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 범위(x) | -3.0 | -1.5 | -1.0 | 0.0 | 1.0 | 1.5 | 3.0 |
| 대응값(y) | -2.00 | 17.1 | 18.0 | 16.0 | 14.0 | 14.9 | 34.0 |
| d2y/dx | -18.0 | -9.00 | -6.00 | 0 | 6.00 | 9.00 | 18.0 |
결과에 의하면 이 식의 극값은 두 개이며 각 지점에서 이차 미분 계수는 음수와 양수임을 나타냅니다. 즉, 극점들을 중심으로 일정한 범위에 대해 대응하는 y값과 이차미분계수의 부호를 비교하면 극점인 x의 -1과 1에서 대응하는 y값 18과 14이 각각 극대값과 극소값임을 알 수 있습니다. 이 함수를 그래프로 나타내면 그림 5와 같습니다.
rng1=np.unique(np.sort(np.append(np.linspace(np.min(xEx)-2, np.max(xEx)+2, 100), xEx)))
yrng1=[N(y.subs(x, i), 3) for i in rng1]
dy2rng1=[N(dy2.subs(x, i), 3) for i in rng1]
plt.figure(figsize=(10, 4), dpi=100)
plt.plot(rng1, yrng1, color="blue", label="f(x)")
plt.plot(rng1, dy2rng1, color="red", label=r"$\mathbf{\frac{d^2y}{dx^2}}$")
plt.scatter(xEx[0], yEx[0], label="Maximum",color="green")
plt.scatter(xEx[1], yEx[1], label="Minimum",color="orange")
plt.axhline(0, linestyle="--", color="black")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold", "size":12})
plt.grid(True)
plt.show()
(3) $\displaystyle \mathbf{y=\frac{x-1}{x^2+2}}$
x=Symbol("x")
y=(x-1)/(x**2+2)
y
$\quad \small \color{blue}{\frac{x - 1}{x^{2} + 2}}$
dy=y.diff(x) dy$\quad \small \color{blue}{- \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2}}$
xEx=solve(dy) xEx
[1 - sqrt(3), 1 + sqrt(3)]
yEx=[y.subs(x, i) for i in xEx] yEx
[-sqrt(3)/((1 - sqrt(3))**2 + 2), sqrt(3)/(2 + (1 + sqrt(3))**2)]
dy2=y.diff(x, 2) dy2$\quad \small \color{blue}{\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 2} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 2\right)^{2}}}$
xEx=np.array(xEx, dtype=float) rng=np.unique(np.sort(np.append(np.linspace(np.min(xEx)-2, np.max(xEx)+2, 5), xEx))) rng
array([-2.73205081, -0.8660254 , -0.73205081, 1. , 2.73205081,
2.8660254 , 4.73205081])
yrng=[N(y.subs(x, i), 3) for i in rng] dy2rng=[N(dy2.subs(x, i), 3) for i in rng] pd.DataFrame([rng, yrng, dy2rng], index=["범위(x)", "대응값(y)","d2y/dx"])
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 범위(x) | -2.732051 | -0.866025 | -0.732051 | 1.0 | 2.732051 | 2.866025 | 4.732051 |
| 대응값(y) | -0.394 | -0.679 | -0.683 | -1.48e-16 | 0.183 | 0.183 | 0.153 |
| d2y/dx | -0.0575 | 0.413 | 0.539 | -0.444 | -0.0387 | -0.0306 | 0.00171 |
극값의 x 좌표에 대응하는 2차 미분의 값은 각각 양수와 음수 입니다. 그러므로 위 코드의 결과는 다음과 같이 해석됩니다.
| x at $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$ | $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}$ | y | 극값 |
|---|---|---|---|
| -0.732 | 양수 | -0.683 | 극대값 |
| 2.732 | 음수 | 0.183 | 극소값 |
위의 결과는 그림 6으로 확인할 수 있습니다.
rng1=np.unique(np.sort(np.append(np.linspace(np.min(xEx)-2, np.max(xEx)+2, 100), xEx)))
yrng1=[N(y.subs(x, i), 3) for i in rng1]
dy2rng1=[N(dy2.subs(x, i), 3) for i in rng1]
plt.figure(dpi=100)
plt.plot(rng1, yrng1, color="blue", label="f(x)")
plt.plot(rng1, dy2rng1, color="red", label=r"$\mathbf{\frac{d^2y}{dx^2}}$")
plt.scatter(xEx[0], yEx[0], label="Maximum",color="green")
plt.scatter(xEx[1], yEx[1], label="Minimum",color="orange")
plt.axhline(0, linestyle="--", color="black")
plt.xlabel('x', size=12, weight="bold")
plt.ylabel('y', size=12, weight="bold")
plt.legend(loc="best", prop={"weight":"bold", "size":12})
plt.grid(True)
plt.show()
예 2)
&emspl;어떤 공장의 생산 비용 C는 생산량 P와 다음의 관계를 보입니다. 최소의 비용을 사용할 경우의 생산량을 계산합니다.
a, b, c,d,P=symbols('a, b, c, d, P', positive=True)
C=a*P+b/(c+P)+d
dC=diff(C, P)
dC
$\quad \small \color{blue}{a - \frac{b}{\left(P + c\right)^{2}}}$
P_m=solve(dC, P) P_m
[-c + sqrt(b)/sqrt(a)]
ddC=diff(C, P, 2) ddC$\quad \small \color{blue}{\frac{2 b}{\left(P + c\right)^{3}}}$
ddC.subs(P, P_m[0])$\quad \small \color{blue}{\frac{2 a^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{b}}}$
P에 대한 1차 미분에 의한 극점 P_m에 대해 2차 미분은 양수입니다. 그러므로 이 지점은 극소점으로 극소값을 나타낸다. 즉, 최소 비용을 일으키는 생산량 P는 $\displaystyle -c + \sqrt{\frac{b}{a}}$입니다.
예 3)
&emspl;N개의 램프를 조명하는데 시간당 비용(C)과의 관계는 다음과 같습니다.
램프의 평균 수명과 작동되는 효율을 연결하는 관계는 대략 $t = mE^n$이며, 여기서 m과 n은 램프의 종류에 따른 상수입니다. 총 조명 비용이 가장 적은 효율성을 찾으십시오.
비용 함수 C를 효율성 E에 대해 미분해야 합니다. 또한 함수 C의 t는 상수가 아닌 E에 관련된 변수이므로 즉, E에 의존하므로 다음 코드와 같이 함수 C의 변수 t를 mEn로 치환한 상태에서 미분을 시행해야 합니다.
Cl, Ce, E, m, n, N, P, t=symbols('Cl, Ce, E, m, n, N, P, t', positive=True)
C=N*(Cl/t+(E*P*Ce)/1000)
t1=m*E**n
C=C.subs(t, t1)
C
$\quad \small \color{blue}{N \left(\frac{Ce E P}{1000} + \frac{Cl E^{- n}}{m}\right)}$
위 결과의 극점의 극대, 극소를 결정합니다.
Cl, Ce, E, m, n, N, P, t=symbols('Cl, Ce, E, m, n, N, P, t', positive=True)
C=N*(Cl/t+(E*P*Ce)/1000)
t1=m*E**n
C=C.subs(t, t1)
C
$\quad \small \color{blue}{N \left(\frac{Ce E P}{1000} + \frac{Cl E^{- n}}{m}\right)}$
dC=diff(C, E) dC$\quad \small \color{blue}{N \left(\frac{Ce P}{1000} - \frac{Cl E^{- n} n}{E m}\right)}$
Em=solve(dC, E) Em
[(1000*Cl*n/(Ce*P*m))**(1/(n + 1))]
ddC=diff(C, E, 2) ddC$\quad \small \color{blue}{\frac{Cl E^{- n} N n \left(n + 1\right)}{E^{2} m}}$
ddC.subs(E, Em[0])>0
True
이차미분에 극값이 될 E지점을 대입한 값은 양수입니다. 그러므로 최소비용이 될 E는 다음과 같습니다.
Cmin=C.subs(E, Em[0]) Cmin$\quad \small \color{blue}{N \left(\frac{Ce P \left(\frac{1000 Cl n}{Ce P m}\right)^{\frac{1}{n + 1}}}{1000} + \frac{Cl \left(\frac{1000 Cl n}{Ce P m}\right)^{- \frac{n}{n + 1}}}{m}\right)}$
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