[data analysis] 변동: 분산(variance)

변동(Variation)

관련내용

• 범위(range)
• 4분위수(Quantile)
• 중간값 절대 편차(MAD)
• 분산(Variance)
• 표준편차(Standard Deviation)
• 분산계수(Variation Coefficient)

분산(Variance)

데이터의 중심으로부터의 차이 정도를 나타내는 지표로 중간값을 사용하는 MAD와는 달리 분산 (variance)은 평균을 사용합니다. 또한 MAD는 절대값을 적용하는데 반해 동일한 이유로 분산은 편차의 제곱을 사용합니다. 즉, 식 1과 같이 계산되는 분산을 평균제곱편차(mean squared deviation)라고도 합니다. 일반적으로 분산은 σ²으로 나타냅니다.

\begin{align}\sigma^2&=\frac{\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2}{n-1}\\& n:\text{샘플 크기},\quad \mu: \text{평균} \end{align}

(식 1)

그림 1은 데이터의 각 값과 평균의 편차 제곱(y_var), 중간값과의 차이의 절대값(y_mad) 함수들의 형태를 나타낸 것입니다. 즉, 분산과 MAD산출하기 위한 함수들을 나타냅니다.

그림1. 분산과 MAD 함수.

그림 1에서 나타낸 것과 같이 MAD와 분산을 위한 함수는 각각 직선과 2차 곡선입니다. 편차는 확률을 기반으로 하는 통계적 추론의 중요한 매개변수입니다. 기존 자료를 기반으로 새로운 값을 추정하기 위한 통계 모델은 편차를 최소로 하는 지점을 기준으로 구축됩니다. 이 기준은 함수의 미분에 의한 최소 극값으로 결정할 수 있습니다. 이러한 측면에서 2차 함수인 분산 함수가 더 유리합니다.

예)

한 반에서 무작위로 선택한 6명의 수학점수입니다. 이 자료의 분산을 결정합니다.

90, 65, 95, 75, 70, 85

x=np.array([90, 65, 95, 75, 70, 85])
mu=x.mean(); mu

80.0

평균을 기준으로 각 값의 편차와 제곱편차를 계산합니다.

	점수	편차	제곱편차
A	90.0	10.0	100.0
B	65.0	-15.0	225.0
C	95.0	15.0	225.0
D	75.0	-5.0	25.0
E	70.0	-10.0	100.0
F	85.0	5.0	25.0

분산은 위 표의 제곱 편차의 평균으로 다음과 같이 계산됩니다.

\begin{align}\sigma^2 & = \frac{100.0 + 225.0 + 225.0 + 25.0 + 100.0 + 25.0}{6}\\&=116.7\end{align}

분산은 np.var(x, ddof=None), 객체.var(ddof=None) 메소드를 적용하여 계산할 수 있습니다. 이 함수와 메소드에서 ddof는 자유도를 생성하는 요인으로 전체 자료수에서 제외하는 갯수를 의미합니다.

• numpy.var(x, axis=None, ddof=0, ...), x.var(axis=None, ddof=0, ...)
  • 객체 x의 분산을 계산
  • x: array, DataFrame, Series 객체
  • axis: 연산의 방향을 지정
  • ddof: 자료의 자유도를 산출하기 위해 고려되는 값

round(np.var(x, ddof=1), 2))

140

분산 계산과정은 다음과 같습니다.

1. 평균 결정
2. 각 값과 평균의 차이를 계산(=편차)
3. 각 편차의 제곱을 계산(=제곱 편차)
4. 제곱편차의 합(sum of square, SS) 계산
5. 편차 제곱의 합을 자료의 크기 또는 자유도로 나누어 분산을 결정

예)

SS=486, n=120(샘플 수)인 자료의 분산을 결정합니다.

σ2 =	486	(식 1.3.6)
	120 − 1
≈	44.36