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[data analysis] 변동: 표준편차(Standard Deviation)

변동(Variation)

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표준편차(Standard Deviation)

분산은 편차의 제곱으로 원시 자료(raw data) 단위의 제곱으로 자료를 해석하는데 불리합니다. 원래의 단위로 복원하기 위해서는 식 1과 같이 분산에 제곱근을 적용합니다. 이 결과를 표준편차 (standard deviation)이라 하며 σ로 나타냅니다.

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2}{n-1}}$$(식 1)

표준편차는 np.std(x, ddof), DataFrame.std(x, ddof)으로 계산할 수 있습니다.

  • numpy.std(x, axis=None, ddof=0, ...), DataFrame.std()
    • 지정한 축을 기준으로 배열 객체 x의 표준편차를 계산 (= array.std())
    • axis=None 의 경우 1차원 벡터로 전환하여 표준편차 계산
    • ddof: 자료의 자유도를 산출하기 위해 데이터 크기에서 빼주는 값

예)

평균이 72인 시험에서 A의 점수는 78입니다. 다음 중 A에게 유리하기 위한 자료의 표준편차(s)를 결정하세요.

(1) s=2(2) s=3(3) s=4

자료의 변동이 작다는 것은 값들이 특정한 지점에 집중도가 증가한다는 것입니다. 또한 A의 점수는 평균 보다 크므로 표준편차가 작을수록 상위에 위치할 가능성이 증가하게 됩니다. 그러므로 (1)의 경우가 가장 유리할 것입니다.

통계분석에서 정보를 획득하기 위한 관심의 대상이 되는 전체 집합을 모집단(population)이라하며 그 모집단에서의 일부를 표본(sample)이라고 합니다. 일반적으로 모집단을 확보하는 것이 어려운 경우가 많습니다. 그러므로 모집단의 특성을 모집단의 일부인 표본으로부터 추정하는 것이 통계 분석의 목적이 됩니다.

표본의 크기는 조절이 가능하며 유한하기 때문에 합, 평균등의 통계량을 결정할 수 있습니다. 이 때문에 모든 값들이 확률적이지 않습니다. 예를 들어 [1, 3, 5, 1]로 구성된 자료의 총 합이 10입니다. 이 자료의 총합은 고정된 상태이므로 자료 중 3개의 값을 알면 나머지는 자동으로 할당되므로 이 자료의 4개의 값들 중에 확률변수로 사용할 수 있는 값들은 3개 뿐 입니다. 이를 데이터 셋에 대한 중간값이나 평균등의 통계량을 알고 있을 경우 n-1개의 값을 알고 있다면 나머지 값은 자동적으로 지정됩니다. 즉, 통계량을 1개 알고 있다면 데이터 n-1개만이 자유롭습니다. 이를 자유도(degree of freedom)라고 하며 예의 경우 자유도는 3이 됩니다. 결과적으로 자유도는 데이터들 중 확률변수(랜덤변수)로 사용할 수 있는 데이터 갯수입니다. 다시 말하면 통계적 추정을 계산하는 과정에서 사용된 독립적인 정보의 수로 정의 할 수 있습니다. 일반적으로 평균을 사용할 수 있는 경우 데이터 셋의 자유도는 데이터의 크기(n) - 1이 됩니다.

모집단의 경우 일반적으로 추정의 대상으로 전체 크기나 평균 등의 통계량을 알 수 없는 경우가 대부분이므로 자유도를 고려할 수 없습니다. 그러나 표본의 경우 크기가 유한하므로 자유도를 고려해야 합니다. 표본의 크기가 매우 크다면 n과 n-1은 차이는 무시가능합니다. 그러나 작은 표본일 경우는 결과에 큰 차이를 나타냅니다. 그러므로 평균이나 분산 그리고 표준편차에서 자유도를 고려해야 합니다. 자유도 고려 여부에 따른 모집단과 표본에서의 통계량의 계산식을 표 1에 나타내었습니다.

표 1 모집단과 표본에서의 평균, 분산, 그리고 표준편차 N: population size, n: sample size
ItemPopulationSample
Mean$\mu=\frac{\sum^n_{i=1}x}{N}$$\bar{x}=\frac{\sum^n_{i=1}x}{n-1}$
Variance$\sigma^2=\frac{\sum^n_{i=1}(x-\mu)^2}{N}$$s^2=\frac{\sum^n_{i=1}(x-\bar{x})^2}{n-1}$
Meanσs
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