[data analysis]shapiro-Wilk test

shapiro-Wilk test

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표본 x₁, x₂, …, x_n이 정규분포에 부합성 여부를 검정하기 위해 식 1과 같이 계산되는 shapiro-Wilk통계량인 W를 사용하여 귀무가설(H0: 정규분포를 따릅니다.) 검정을 실시합니다.

$$\begin{array}{rl}W& =\frac{{\left(\sum _{i=1}^m{a}_i{x}_{(i)}\right)}^2}{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}\\ x_{(i)}& =x_{n+1-i}-x_i\\ & n:\text{표본의 크기}\\ & m=\{\begin{array}{ll}\frac{n}{2}& \text{for}n=\text{짝수}\\ \frac{n-1}{2}& \text{for}n=\text{홀수}\end{array}\end{array}$$

(식 1)

식 1에서 a_i는 두 값 차이에 대한 가중치입니다. 그 가중치들은 정렬된 자료의 평균, 표준편차 등 통계량을 기준으로 산출된 상수로서 shapiro-Wilk table에서 결정할 수 있습니다.

식 1의 x_(i)를 나타내는 i는 [0, m] 사이의 정수값입니다. 즉 W값은 전체 퍼짐의 정도에서 각각의 작은값과 큰값의 차이의 비를 나타낸 값입니다. Shapiro-Wilk 검정의 W는 다음 과정으로 계산합니다.

1. data 정렬
2. SS 계산
   • $SS=\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$
3. W의 분자인 b를 계산
   • $b=\sum _{i=1}^m{a}_i(x_{n+1-i}-x_i)$
4. 검정 통계량(W)계산
   • $W=\frac{b^2}{SS}$
5. shapiro-Wilk table를 기준으로 p-value를 산출
   • shapiro-Wilk table은 샘플수에 대한 가중치(a_i)와 특정 유의확률에 대응하는 W값을 계산한 표입니다.

이 검정은 scipy라이브러리의 stats.shapiro() 함수를 사용하여 실시할 수 있습니다.

예 1)

다음 나이에 대한 자료가 정규분포에 부합 여부에 대해 shapiro-Wilk 검정을 적용합니다.

age	65	61	63	86	70	55	74	35	72	68	45	58

위 자료를 내림차순으로 정리합니다.

age=np.array([65,61,63,86,70,55,74,35,72,68,45,58])
ageSort=np.sort(age)
print(ageSort)

[35 45 55 58 61 63 65 68 70 72 74 86]

위 자료는 샘플수(n)이 12이므로 $m=\frac{12}{2}=6$으로서 6개의 가중치가 존재합니다. 각 가중치를 shapiro-Wilk table에서 결정하고 통계량 W를 계산합니다.

n=len(age)
m=np.array([n/2 if n%2==0 else (n-1)/2], dtype=np.int16)
print(m)

[6]

ss=np.sum((ageSort-np.mean(ageSort))**2)
print("ss: %.3f" %ss)

ss: 2008.667

다음 코드의 객체 a는 shapiro-Wilk table로부터 결정되는 값들입니다.

a=np.array([0.5475,0.3325,0.2347,0.1586,0.0922,0.0303])
age1=[ageSort[n-(i+1)]-ageSort[i] for i in range(m[0])];age1

[51, 29, 17, 12, 7, 2]

b=np.sum(a*age1); b

44.1641

w=b**2/ss; w

0.9710260847046132

위 결과의 통계량에 대한 유의확률은 shapiro-Wilk table로부터의 값으로 외삽법을 사용하여 계산할 수 있습니다. 이 부분은 생략하며 stats.shapiro() 함수를 사용하여 유의확률을 확인합니다.

re=stats.shapiro(age)
print("통계량(w): %.3f, p-value: %.3f" %(re[0], re[1]))

통계량(w): 0.971, p-value: 0.922

유의수준 0.05 또는 0.1보다 크므로 위 자료 age는 정규분포를 따른다는 귀무가설을 기각할 수 없습니다. 이 결과에 대한 Q-Q plot은 그림 1과 같습니다.

그림 1. 자료 age에 대한 Q-Q plot.

plt.figure(figsize=(4,2))
stats.probplot(age, plot=plt, rvalue=True)
plt.show()

예 2)

다음은 일정한 기간의 kospi 지수와 kosdaq 지수의 일일 종가 자료입니다.

	kospi	kosdaq
0	2669.8	878.9
1	2607.3	871.6
2	2587.0	866.2
3	2578.1	878.3
4	2567.8	879.3
⋮	⋮	⋮

각 자료의 정규성을 파악하기 위해 shapiro-Wilk 검정을 실시해 봅니다.

위 자료를 생성하기 위한 코드입니다. 자료간의 스케일의 차이를 보정하기 위해 각 자료를 표준화하였습니다.

st=pd.Timestamp(2024,1,1)
et=pd.Timestamp(2024, 5, 30)
kos=fdr.DataReader("KS11",st, et)["Close"]
kq=fdr.DataReader("KQ11", st, et)["Close"]
kos1=(kos-kos.mean())/kos.std()
kq1=(kq-kq.mean())/kq.std()

위 코드로부터 작성된 자료 kos1과 ex1에 대한 Shapiro-Wilk 분석을 실행합니다.

kos_sh=stats.shapiro(kos1)
print("통계량: %.3f, p-value: %.3f" %(kos_sh[0], kos_sh[1]))

통계량: 0.921, p-value: 0.000

kq_sh=stats.shapiro(kq1)
print("통계량: %.3f, p-value: %.3f" %(kq_sh[0], kq_sh[1]))

통계량: 0.984, p-value: 0.250

유의수준 0.05를 기준으로 kospi는 매우 낮은 p-value를 보이므로 정규성을 따른다는 귀무가설을 기각할 수 있습니다. 반면에 kosdaq의 경우는 귀무가설을 기각할 수 없습니다.이 두 결과는 그림 2와 같이 시각화 할 수 있습니다.

그림 2. kospi와 kosdaq의 Q-Q plot.

plt.figure(figsize=(8, 3))
ax1 = plt.subplot(121)
res = stats.probplot(kos1, plot=plt, rvalue=True)
ax1.set_title("Q-Q plot: KOSPI")
ax2 = plt.subplot(122)
res = stats.probplot(kq1, plot=plt, rvalue=True)
ax2.set_title("Q-Q plot: kq")
ax2.set_ylabel("")
plt.show()