벡터(Vector)

스칼라와 벡터
차원과 축

벡터

스칼라와 벡터

그림 1은 무엇을 나타낸 것일까요?

import numpy as np
import numpy.linalg as la
import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

d={'r':(-2, -4), 'g':(3, -4), 'b':(5, 3), 'k':(-3, 5)}
col=['black','red','green','navy']
plt.figure(dpi=100)
plt.scatter(0, 0, label="A(0,0)")
for i, j in enumerate(d.keys()):
    plt.scatter(d[j][0], d[j][1], color=col[i], label=f"{j}{d[j]}")
    plt.annotate(j, xy=d[j], xytext=(0,0), arrowprops=dict(facecolor=col[i]))
plt.legend(loc="best")
plt.axhline(0)
plt.axvline(0)
di={'south':(0.1,-3), 'easth':(3,-0.5), 'west':(-3,-0.5), 'north':(0.1,3) }
di2={'south':'y-', 'easth':'x+', 'west':'x-', 'north':'y+' }
n=0
for i, j in zip(di.keys(), di2.keys()):
    plt.text(di[i][0], di[i][1], (di2[j], j), color=col[n], weight='bold')
    n +=1
plt.show()

그림 1.1의 수치는 동서남북 방향 등의 의미 외에 다양한 의미를 부여할 수 있을 것입니다. 어떠한 해석이든지 우리는 다음의 2가지를 추출할 수 있습니다.

x축과 y축은 각각 동-서와 남-북을 기준으로 합니다.
각 축을 기준으로 4개 지점의 위치와 거리를 나타냅니다.

각 점의 크기와 방향은 점 A를 기준 계산할 수 있습니다. 예를 들어 b점의 경우 (5, 3)에 위치하며 A로부터의 직선거리는 4입니다. 이 직선거리는 다음 그림과 같은 직각삼각형에 적용되는 피카고라스 정리(식 1)를 사용하여 계산할 수 있습니다.

plt.figure(dpi=100)
cd={'b':(1, 0),'a':(0, 1)}
for i in cd.keys():
    plt.arrow(0, 0, cd[i][0], cd[i][1])
plt.arrow(1, 0, -1, 1)
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.text(0.5, 0.01, "b", fontsize="13", weight="bold", color="navy")
plt.text(0.01, 0.5, "a", fontsize="13", weight="bold", color="red")
plt.text(0.5, 0.5, "c", fontsize="13", weight="bold", color="green")
plt.text(0.01, 0.01, r"$\mathbf{\theta=90^{\circ}}$", fontsize="13", weight="bold")
plt.show()

$$\begin{equation}\tag{1}c^2=a^2+b^2 \rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}\end{equation}$$

ab=(5**2+3**2)**0.5 # √(52+32)
round(ab,2)

5.83

위와 같이 원점을 기준으로 각 점을 계산하면 다음과 같습니다.

point=np.array([[5,3],[3,-4],[-2,-4],[-3,5]]) 
point

array([[ 5,  3],
           [ 3, -4],
           [-2, -4],
           [-3,  5]])

위 결과를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

	x	y	distance
b	5.0	3.0	5.830952
g	3.0	-4.0	5.000000
r	-2.0	-4.0	4.472136
k	-3.0	5.0	5.83095

점 b에서 밑변의 길이는 (5-0)이 되며 높이는 (3-0)이 됩니다. 그러므로 이 관계를 공식화하면 식 2와 같이 정리됩니다.

$$\begin{equation}\tag{2} \text{Distance}=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2} \end{equation}$$

위 식에서 $x_0, y_0$은 시작점, $x_1, y_1$은 종말점을 나타냅니다.

예)
(0, -3)과 (4, 0)사이의 거리를 계산합니다.

여러 좌표들 사이의 거리는 numpy 모듈의 array()함수를 사용하여 배열 구조로 전환한 뒤 numpy.linalg.norm() 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다.

x=np.array([[0], [-3]])
y=np.array([[4],[0]])
x, y

(array([[ 0],
            [-3]]),
     array([[4],
            [0]]))

la.norm([x, y])

5.0

np.sqrt((0-4)**2+(-3-0)**2)

5.0

식 2에서 나타난 것과 같이 각 점의 좌표는 기준점으로부터 방향과 거리를 포함하고 있습니다. 이를 벡터라고 합니다. 반면에 거리와 같은 각 점의 크기는 스칼라라고 합니다. 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

벡터와 스칼라

벡터(Vector): 크기와 방향을 가지고 있는 값
스칼라(Scalar): 크기만을 가지는 값

그림 1은 모든 좌표는 원점인 (0, 0)을 기준으로 하였습니다. 그러나 이 기본 좌표가 (0, 0)이 아닌 경우 좌표자체가 이동된다고 생각할 수 있습니다. 예로 A가 (1,1)로 이동된 경우는 그림 2와 같이 변경됩니다.

d={'r':(-1, -3), 'g':(4, -3), 'b':(6, 4), 'k':(-2, 6)}
col=['black','red','green','navy']
plt.figure(dpi=100)
plt.scatter(1, 1, label="A(1,1)")
for i, j in enumerate(d.keys()):
    plt.scatter(d[j][0], d[j][1], s=0.01)
    plt.annotate(j, xy=d[j], xytext=(1,1), arrowprops=dict(facecolor=col[i]))
    if (j=="k") | (j=="b"):
        plt.text(d[j][0]+0.1, d[j][1]+0.5, f"{j}{d[j]}", color=col[i], weight="bold")
    else:
        plt.text(d[j][0]-0.5, d[j][1]-0.5, f"{j}{d[j]}", color=col[i], weight="bold")
        plt.legend(loc="best")
plt.axhline(0)
plt.axvline(0)
plt.axhline(1, linestyle="--")
plt.axvline(1, linestyle="--")
plt.xlim(-4, 8)
plt.ylim(-5, 8)
di={'south':(0.1,-3), 'easth':(3,-0.5), 'west':(-3,-0.5), 'north':(0.1,3) }
di2={'south':'y-', 'easth':'x+', 'west':'x-', 'north':'y+' }
n=0
for i, j in zip(di.keys(), di2.keys()):
    plt.text(di[i][0], di[i][1], (di2[j], j), color=col[n], weight='bold')
    n +=1
plt.show()

그림 2의 경우 그림 1의 기준점 A가 (0,0) → (1,1)로 이동한 것입니다. 이것은 기준이 되는 축이 x와 y 방향으로 1만큼 씩 상승한 것으로 각 점의 모든 위치가 동일한 크기만큼 상승한 것입니다. 그러므로 기본 축의 변경은 다른 모든 점들의 변경을 유도하므로 각 점의 거리는 변함이 없을 것입니다.

차원과 축

여러 1차원 벡터들의 결합으로 2차원 이상의 객체를 생성할 수 있으며 특히 2차원은 행렬(matrix)로 표시합니다. 1차원 벡터를 포함하여 모든 텐서는 numpy의 array(배열 객체, 자료형)를 사용하여 나타낼 수 있습니다.

다음 코드의 객체 a는 리스트 객체 [1, 2]를 인수로 전달한 것으로 이를 그래프로 나타내면 그림 3과 같이 하나의 축 위에 표시됩니다. 반면에 객체 a1의 경우는 두 개의 리스트를 포함하는 객체를 인수로 전달하는 것으로서 두 개의 축으로 표현되며 축의 갯수는 그 객체의 차원(dimension)이 됩니다.

array 배열 객체에서 대괄호(리스트) 1개는 1개의 축을 나타냅니다. 그러므로 a는 1개의 행으로 이루어진 벡터로 행벡터(row vector), a1은 두 개의 리스트 즉, 두 개의 행이 결합된 형태입니다. 그러므로 2개의 축으로 구성된 것을 의미하며 한개의 축에서 한개의 요소만을 포함하는 것으로 열벡터(column vector)라고 합니다

a=np.array([1,2])#행벡터
a

array([1, 2])

a1=np.array([[1],[2]]) #열벡터
a1

array([[1],
           [2]])

plt.figure(dpi=100)
plt.arrow(0, 0, 1, 2, width=0.007, head_width=0.05, overhang=0.2, label=f"a1={a1}", color="blue")
plt.arrow(1, 0, 2, 0, width=0.007, head_width=0.05, overhang=0.2, label=f"a={a}", color="red")
plt.text(0.8, 1.3, 'column vector', color="blue", fontsize=12, weight="bold")
plt.text(1.5, 0.15, 'row vector', color="red", fontsize=12, weight="bold")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()

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