[numpy] 차원(dimension)

차원(dimension)

차원은 임의의 점들을 나타내기 위해 필요한 축의 수로 정의할 수 있습니다. 다음 그림은 3차원까지를 나타냅니다.

• 한 개의 점(scalar)을 나타내기 위해서는 축이 필요하지 않습니다. 즉, 점은 0차원으로 정의합니다.
• 두점을 이은 선(vector)의 경우 두 점들을 한개의 축위에 나타내는 것으로 1차원으로 각 점 간의 거리를 나타낼 수 있으며 한 방향을 나타낼 수 있습니다.
• 두개의 선을 연결한 면(matrix)을 나타내기 위해서는 2개의 기본 축이 필요하므로 2차원으로 면적을 나타낼 수 있으며 두 방향을 나타낼수 있습니다.
• 두개의 면을 연결한 공간의 경우 3개의 기본 축하므로 3차원이 됩니다. 즉, 부피와 3개의 방향을 나타낼 수 있습니다.
• 3차원 이상의 경우는 tensor라는 용어로 나타냅니다.

numpy 패키지의 기본 자료형인 array(배열)의 기본단위는 벡터이며 리스트 형태인 하나의 대괄호로 나타냅니다. 다음 객체 x는 한개의 숫자를 가지지만 벡터이므로 방향을 가집니다. 즉, 0에서 시작하여 2까지 이어지는 선을 나타냅니다.

import numpy as np 
import numpy.linalg as la
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.family'] ='NanumGothic'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] =False

x=np.array([2])
x

array([2])

벡터 x는 다음 그림 중의 하나로 나타낼 수 있습니다. 즉, 한개의 좌표가 필요하므로 1차원 벡터입니다.

그림 1.

fig, ax=plt.subplots(1, 2, figsize=(4,2))
plt.subplots_adjust(wspace=0.3)
ax[0].plot([0, 2], [0, 0], lw=2)
ax[1].plot([0,0], [0,2], lw=2)
plt.show()

다음 객체 y는 2개의 스칼라(수)를 포함하는 벡터입니다.

y=np.array([1,2])
y

array([1, 2])

위 객체는 그림 2와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 객체를 나타내기 위해 두개의 축이 필요하지만 객체자체는 한개의 선(축, axis)로 표현되므로 1차원입니다.

그림 2.

fig, ax=plt.subplots(figsize=(3,2))
ax.plot((0,1),(0,2), "-o", lw=2)
plt.show()

1차원 벡터는 거리를 계산할 수 있습니다. 그림 2의 거리 계산은 다음과 같습니다.

$$\Vert \vec{y} \Vert = \sqrt{(1-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$$

위에서 계산한 벡터의 크기(거리)는 norm이라하며 numpy.linalg.norm() 함수로 계산할 수 있습니다.

la.norm(y).round(3)

2.236

round(pow(5, 0.5),3)

2.236

선형대수학에서 벡터는 기본적으로 열벡터를 의미합니다. 또한 모든 요소들이 실수로 구성된 실수 벡터는 $\mathbb{R}^n$으로 표시합니다. 여기서 n은 벡터를 나타내기 위해 필요한 축의 수 입니다. 그러므로 위의 객체 y는 다음과 같습니다.

$$y=\mathbb{R}^2=\begin{bmatrix}1\\2 \end{bmatrix}$$

위 식의 표기에서 n 역시 차원으로 표기하지만 이것은 선형대수에서 한정적으로 사용하는 용어로 위에서 정의한 점, 선 등으로 소개하는 차원과는 다른 것으로 유의할 필요가 있습니다.

다음 객체 A는 두 개의 벡터로 구성된 객체입니다.

np.random.seed(3)
A=np.random.randint(0, 10, size=(2,2))
A

array([[8, 9],
       [3, 8]])

그림 3은 객체 A의 각 벡터를 나타낸 것으로 두개의 축이 생성됩니다. 더 많은 벡터가 존재하더라도 출발점이 같기 때문에 생성되는 기본 축은 두개가 됩니다. 즉, 2차원 입니다.

그림 3.

fig, ax=plt.subplots(figsize=(3,2))
ax.arrow(0,0, 8, 9, color="b", head_width=0.2)
ax.arrow(0,0, 3, 8, color="r", head_width=0.2)
ax.arrow(8,9, 3,8, color="r", ls=":", alpha=0.5)
ax.arrow(3, 8, 8,9, color="b", ls=":", alpha=0.5)
ax.text(1, 6, r"$\overrightarrow{A1}$", color="r")
ax.text(5,7, r"$\overrightarrow{A2}$", color="b")
ax.spines['left'].set_position(("data", 0))
ax.spines['bottom'].set_position(("data", 0))
ax.spines['right'].set_visible(False)
ax.spines['top'].set_visible(False)
plt.show()

객체 A와 같이 두 개이상의 벡터로 구성된 2차원의 형태를 행렬(matrix)이라 하며 2개의 축을 각각 행(row)과 열(column)으로 나타냅니다. 다음은 객체 A를 표의 형태로 나타낸 것입니다.

	0 열	1 열
0 행	8	9
1 행	3	8

다음 객체 B는 두개의 행렬로 구성된 것입니다. 즉, 면적을 가진 두 객체의 결합으로 공간체가 되므로 3차원입니다.

np.random.seed(5)
B=np.random.randint(0, 10, size=(2, 3,3))
B

array([[[3, 6, 6],
        [0, 9, 8],
        [4, 7, 0]],

       [[0, 7, 1],
        [5, 7, 0],
        [1, 4, 6]]])

numpy의 array 객체는 .ndim과 .shape로 객체의 차원과 모양을 확인할 수 있습니다.

print(f'y의 차원: {y.ndim}, y의 모양: {y.shape}')
print(f'A의 차원: {A.ndim}, A의 모양: {A.shape}')
print(f'B의 차원: {B.ndim}, B의 모양: {B.shape}')

y의 차원: 1, y의 모양: (2,)
A의 차원: 2, A의 모양: (2, 2)
B의 차원: 3, B의 모양: (2, 3, 3)