내용

• 부분적분
• 치환적분

적분방법

어떤 것을 적분하기 위해서는 그들을 적분할 수 있는 형태로 재구성하는 것으로부터 시작합니다. 이러한 재구성에는 다양한 방법들이 적용됩니다.

부분적분

식 1과 같이 미분의 곱법칙을 적분에 적용할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\text{(1)}& d(uv)& =u·dv+v·duu·dv& =d(uv)-v·du\\ \int u·dv& =\int d(uv)-\int vdu\\ & =uv-\int v·du+C\end{array}$$

식 1에서 u는 정상함수, dv는 미분된 함수를 나타냅니다.

식 1은 식 2와 같이 부분적분 공식으로 정리할 수 있습니다.

부분적분 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \int [f(x)·g(x)]dx=f(x)\int g(x)dx-\int [\frac{df(x)}{dx}\int g(x)]dx\end{array}$$

부분 적분의 몇 가지 예제들을 계산해 봅니다.

예)
  함수 w·sin(w)의 경우 직접 적분하기는 어렵지만 두 식의 곱으로 구성되어 있으므로 부분 적분을 적용할 수 있습니다. 즉, w를 원함수 u로 하고 sin(w)를 미분된 함수 dv라고 한다면 다음과 같이 전개할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}u=w,& \sin (w)=dv\\ \int \sin (w)dw& =-\cos (w)\\ & =v\\ \int w·\sin (w)dw& =w(-\cos (w))-\int (-\cos (w))dw+C\\ & =-w·\cos (w)+\sin (w)+C\end{array}$$

위 부분적분의 과정에 따라 코드를 작성해 보면 다음과 같습니다.

import numpy as np
from sympy import *

w = symbols("w")
y=w*sin(w)
u=w
dv=sin(w)
uInt_dv=u*integrate(dv, w)
int_vdu=integrate(integrate(dv, w)*diff(u, w))
re=uInt_dv-int_vdu
re

$-w\cos \left(w\right)+\sin \left(w\right)$

위 결과는 함수 y를 직접 적분한 것과 같아야 합니다.

integrate(y, w)

$-w\cos \left(w\right)+\sin \left(w\right)$

예)
 ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$? $$\begin{array}{rl}u=x,& dv=e^x\\ v& =\int e^{x}dx\\ & =e^x\\ \int x·e^{x}dx& =x·e^x-\int e^{x}dx\\ & =x·e^x-e^x+C\end{array}$$

x = symbols("x")
y=x*exp(x)
u=x
dv=exp(x)
uInt_dv=u*integrate(dv, x)
int_vdu=integrate(integrate(dv, x)*diff(u, x))
re=uInt_dv-int_vdu
re

$x{e}^x-e^x$

integrate(y, x)

$(x-1)e^x$

예)
 ${\displaystyle {\cos }^2(\theta )d\theta }$? $$\begin{array}{rl}\cos (\theta )=u,& \cos (\theta )=dv\to \sin (\theta )=v\\ \int {\cos }^2(\theta )d\theta & =\cos (\theta )\sin (\theta )+\int {\sin }^2(\theta )d\theta \\ & =\frac{\sin (2\theta )}{2}+\int (1-{\cos }^2(\theta ))d\theta \\ & =\frac{\sin (2\theta )}{2}+\int d\theta -\int {\cos }^2(\theta )d\theta \\ 2\int {\cos }^2(\theta )d\theta & =\frac{\sin (2\theta )}{2}+\theta \\ \int {\cos }^2(\theta )d\theta & =\frac{\sin (2\theta )}{4}+\frac{\theta }{2}+C\\ \because \sin (\theta +\theta )& =2\sin (\theta )\cos (\theta )\end{array}$$

theta=symbols("theta")
y=cos(theta)**2
u=cos(theta)
dv=cos(theta)
uInt_dv=u*integrate(dv, theta)
int_vdu=integrate(integrate(dv, theta)*diff(u, theta), theta)
uInt_dv-int_vdu

$\frac{\theta }{2}+\frac{\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)}{2}$

integrate(y, theta)

$\frac{\theta }{2}+\frac{\sin \left(\theta \right)\cos \left(\theta \right)}{2}$

예)
 $\int x^2\sin (x)dx$? $$\begin{array}{rl}& u=x^2,v=\sin (x)dx\\ & \begin{array}{rl}\int x^2\sin (x)dx& =-x^2\cos (x)+2\int x\cdot \cos (x)dx\\ & =-x^2\cos (x)+2[x\sin (x)-\int \sin (x)dx]\\ & =-x^2\cos (x)+2x\sin (x)+2\cos (x)+C\end{array}\end{array}$$

위 식의 ${\displaystyle \int x\cos (x)}$의 계산은 부분 적분을 다시 적용합니다.

x= symbols("x")
y=x**2*sin(x)
u=x**2
dv=sin(x)
uInt_dv=u*integrate(dv, x)
int_vdu=integrate(integrate(dv, x)*diff(u, x))
re=uInt_dv-int_vdu
re

$-x^2\cos \left(x\right)+2x\sin \left(x\right)+2\cos \left(x\right)$

integrate(y, x)

$-x^2\cos \left(x\right)+2x\sin \left(x\right)+2\cos \left(x\right)$

예)
 ${\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx}$? $$\begin{array}{rl}\int \sqrt{1-x^2}dx& =\int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx-\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx\end{array}$$

위 결과의 우항의 첫 번째 항은 y=arcsin(x)의 미분 결과입니다. 위 결과는 다음과 같이 삼각함수로 치환하여 적분할 수 있습니다.

다음 함수의 적분에서 함수의 분모는 반지름이 1인 반원의 식과 같습니다.

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$$

import matplotlib.pyplot as plt

x=np.linspace(-1, 1, 100)
y=np.sqrt(1-x**2)
plt.figure(dpi=100)
plt.plot(x, y, label=r"$y=\sqrt{1-x^2}$")
plt.scatter(0.8, np.sqrt(1-0.8**2), label="(0.8, 0.6)")
plt.arrow(0, 0, 0.8, np.sqrt(1-0.8**2))
plt.arrow(0, 0, 0.8, 0)
plt.arrow(0.8, 0, 0, np.sqrt(1-0.8**2))
plt.legend(loc="upper left")
plt.text(0.72, 0.5, r"$\mathbf{\theta}$")
plt.text(0.5, 0.43, 1)
plt.text(-0.5, 0.5, r"$\mathbf{\sin(\theta)=\frac{x}{1}}$")
plt.text(-0.5, 0.38, r"$\mathbf{\cos(\theta)d\theta=dx}$")
plt.show()

그림 1.${\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}}$.

그러므로 다음과 같이 치환에 의해 적분을 실행할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx& =\int \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2(\theta )}}\cos (\theta )d\theta \\ & =\int \frac{1}{\cos (\theta )}\cos (\theta )dx\\ & =\theta \\ & ={\sin }^{-1}(x)\end{array}$$

x=symbols("x")
diff(asin(x))

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

위 결과들을 적용하면 결과는 다음과 같습니다.

$$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}\arcsin (x)+C$$

y=(sqrt(1-x**2))
integrate(y,x)

$\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{\mathrm{asin}\left(x\right)}{2}$

치환적분

이 방법은 치환 미분과 같은 방식으로 이루어집니다. 즉, 적분 대상을 적분인자와 같은 형식으로 치환하여 계산하는 방법입니다.

예)
 $\int \sqrt{3+x}dx$에서 3+x를 u로 치환하면 간단한 형태로 변환할 수 있습니다.

$$\begin{array}{rl}3+x=u& \to dx=du\\ \int \sqrt{u}du& =\frac{2}{3}\sqrt[3]{u^2}+C\\ & =\frac{2}{3}\sqrt[3]{(3+x{)}^2}+C\end{array}$$

x= symbols("x")
y=(sqrt(3+x))
integrate(y,x)

$\frac{2{(x+3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

예)
 ${\displaystyle \int \frac{1}{e^x+\frac{1}{e^x}}dx}$?

$$\begin{array}{rl}\exp (x)=u,& \exp (x)dx=du\\ dx& =\frac{1}{u}du\\ \int \frac{1}{\exp (x)+\exp (-x)}dx& =\int \frac{1}{u(u+\frac{1}{u})}du\\ & =\int \frac{1}{u^2+1}du\\ & ={\tan }^{-1}(u)\\ & ={\tan }^{-1}(\exp (x))\end{array}$$

위 전개 과정에서 ${\displaystyle \frac{1}{u^2+1}}$은 ${\displaystyle {\tan }^{-1}(x)}$의 미분 결과입니다.

dx, x, u= symbols("dx, x, u")
eq1=Eq(u, exp(x))
diff(eq1, x)

$\frac{\partial }{\partial x}u=e^x$

u1=exp(x)
y=(u*(u+1/u))**(-1)
y

$\frac{1}{u(u+\frac{1}{u})}$

integrate(y, u)

$\mathrm{atan}\left(u\right)$

예)
 ${\displaystyle {(x^2+2x+3)}^{-1}}$의 적분? $$\begin{array}{rl}x+1=u,& dx=du\\ \int \frac{1}{x^2+2x+3}dx& =\int \frac{1}{x^2+2x+1+2}dx\\ & =\int \frac{1}{(x+1{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2}dx\\ & =\int \frac{1}{u^2+(\sqrt{2}{)}^2}du\end{array}$$

위 전개 과정의 마지막 식은 다음의 함수 y의 미분 결과와 같습니다. 역으로 그 마지막 식의 적분 결과는 다음 코드와 같습니다.

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{a}{\tan }^{-1}(u)\\ \frac{dy}{du}& =\frac{1}{u^2+a^2}\end{array}$$

x=symbols("x")
y= 1/(x**2+2*x+3)
integrate(y, x)

$\frac{\sqrt{2}\mathrm{atan}(\frac{\sqrt{2}x}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}$

위 예제들은 이항 및 삼각함수 표현에 적용할 수 있는 특수한 형태이며, 알려진 적분 결과로 전환된 것입니다. 즉, 분모의 통분 및 인수 분해는 특별한 경우에 적용 할 수 있는 방법으로 프로그밍이 아닌 직접 계산을 실행할 경우 익숙해지려면 많은 연습이 필요합니다. 또한 적분의 영역을 복소수 영역으로 확장한다면 더 복잡한 결과를 얻을수 있습니다. 예를 들어 이 예의 x² + 2x + 3은 복소수 부분을 포함한다면 다음과 같이 인수분해 됩니다.

이 식에서 x의 해를 계산하기 위해 다음 코드에서 roots()함수를 적용하였습니다.

roots(x**2+2*x+3)

{-1 - sqrt(2)*I: 1, -1 + sqrt(2)*I: 1}

이 결과를 적용하여 위 함수 y를 부분분수로 분해하여 적분할 수 있습니다.

y=1/(2*sqrt(2)*I)*(1/(x+1 + sqrt(2)*I)+1/(x+1- sqrt(2)*I))
integrate(y, x)

$-\frac{\sqrt{2}i\log (x^2+2x+3)}{4}$

다른 수학 계산과 같이 적분 역시 계산의 한계 조건 등에 따라 다양한 답들이 존재할 수 있으며 무한대 또는 0으로 나누어지는 경우에는 명확한 답을 도출할 수 없습니다. 즉, 모든 경우에 사용할 수 있는 방법은 없습니다. 그러므로 적분 실행 시 이러한 조건들을 정해놓는 것이 중요합니다.

예)
 ${\displaystyle y=\frac{1}{a^2-x^2}}$를 적분합니다.

이 함수는 부분 분수로 전환하여 시행할 수 있습니다.

a, x=symbols("a, x")
y=1/(a**2-x**2)
y

$\frac{1}{a^2-x^2}$

#부분분수 
y1=apart(y, x)
y1

$\frac{1}{2a(a+x)}-\frac{1}{2a(-a+x)}$

#부분분수를 적분 
simplify(integrate(y1, x))

$\frac{-\log (-a+x)+\log (a+x)}{2a}$

#부분분수 적용없이 직접 적분 
simplify(integrate(y, x))

$\frac{-\log (-a+x)+\log (a+x)}{2a}$