기본 콘텐츠로 건너뛰기

벡터와 행렬에 관련된 그림들

댓글 쓰기

[data analysis] 두 대규모 표본의 비교

두 대규모 표본의 비교

내용

중심극한정리에 의하면 큰 규모의 표본은 정규분포에 부합합니다. 일반적으로 자료의 갯수가 30개 이상이면 정규분포를 따른다고 가정합니다. 이 경우는 모분산이 동일하다는 가정은 필요하지 않으며 두 표본으로부터 평균의 차 역시 정규분포를 가정할 수 있습니다. 그러므로 큰 규모의 표본들의 X-Y의 결합분포의 평균과 분산은 식 1과 같이 계산됩니다.

\begin{align}μ_{\text{pred}}&= μ_x − μ_y\\ \sigma_{\text{pred}}^2 & = \frac{\sigma_x^2}{n_x}+\frac{\sigma_y^2}{n_y}\quad \text{for:}\; \sigma^2\to \text{known}\\\sigma_{\text{pred}}^2 & = \frac{s_x^2}{n_x}+\frac{s_y^2}{n_y}\quad \text{for:}\; \sigma^2\to \text{unknown}\\ &\mu,\, n:\,\text{평균, 샘플의 크기}\\& \sigma,\, s:\, \text{모표준편차, 표본표준편차} \end{align}(식 1)

예 1)

다음은 일정기간 코스피(kos)지수와 다우(dj)지수의 일일 시가 기준 종가의 변화율에 대한 자료입니다.

kospi dow
0 -1.079 NaN
1 -0.551 -0.038
2 2.267 0.315
3 -0.157 -0.788
⋮ ⋮ ⋮

위 자료에 대한 다음 귀무가설을 검정해 봅니다.

H0: μkos − μdj = 0

다음은 위 자료를 생성하기 위한 코드입니다. 결과는 각 호출한 코스피지수와 다우지수로부터 생성한 자료의 수입니다. 

st=pd.Timestamp(2023,1,1)
et=pd.Timestamp(2024, 5, 30)
kos=fdr.DataReader('KS11', st, et)[["Open","Close"]]
dj=fdr.DataReader('DJI',st, et)[["Open", "Close"]]
k=(kos["Close"]-kos["Open"])/kos["Open"]*100
d=(dj["Close"]-dj["Open"])/dj["Open"]*100
len(k), len(d)
(345, 353)

자료는 충분한 샘플수를 가지므로 정규분포를 따른다고 가정할 수 있습니다. 즉, 두 그룹에 대해 등분산을 가정할 수 있습니다. 이 두 자료의 결합분포의 평균과 표준편차(표준오차)를 계산합니다. 

mk, md=k.mean(), d.mean()
mu_hat=mk-md
vk, vd=k.var(ddof=1), d.var(ddof=1)
nk, nd=len(k), len(d)
se=np.sqrt(vk/nk+vd/nd)
print(f'평균차: {mu_hat.round(3)}, 표준오차: {round(se, 3)}')
평균차: -0.086, 표준오차: 0.051

위 결과를 기준으로 신뢰수준 0.95에서 신뢰구간을 결정합니다.

low=mu_hat+stats.norm.ppf(0.025)*se
up=mu_hat+stats.norm.ppf(0.975)*se
print(f'하한:{low.round(3)}, 상한:{up.round(3)}')
하한:-0.187, 상한:0.015

위 신뢰구간은 두 그룹의 평균차와 표준오차를 모수로 하는 정규분포에서 직접적으로 계산할 수 있습니다. 이 계산은 stats.norm.interval() 메소드를 사용합니다. 

ci=stats.norm.interval(0.95, mu_hat, se )
print("하한: %.3f, 상한: %.3f" %(ci[0], ci[1]))
하한: -0.187, 상한: 0.015

유의성검정을 위해 p-value를 결정해봅니다. z-검정의 검정통계량 즉, 두 그룹의 평균차를 표준오차를 사용하여 표준화한 값을 기준으로 표준정규분포에서의 유의확률을 계산합니다. 

testStat=mu_hat/se; testStat.round(3)
-1.67
pVal=2*stats.norm.cdf(testStat)
pVal.round(3)
0.095

위 결과들은 귀무가설을 기각할 근거를 제공하지 못합니다. 결론적으로 두 그룹의 평균은 같다고 할 수 있습니다.

statsmodels 패키지의 CompareMeans()클래스로 위 결과를 확인해 봅니다. 대규모 표본이므로 등분산을 가정하고 ttest 대신에 ztest를 실행하는 메소드를 선택합니다.

from statsmodels.stats.weightstats import CompareMeans, DescrStatsW
cm=CompareMeans(DescrStatsW(k), DescrStatsW(d))
se_cls=cm.std_meandiff_pooledvar #합동표준오차
se_cls.round(3)
0.051
ci_cls=cm.zconfint_diff(0.05)
print("하한: %.3f, 상한: %.3f" %(ci_cls[0], ci_cls[1]))
하한: -0.187, 상한: 0.015
stat_cls, pVal_cls=cm.ztest_ind()
print("통계량: %.3f, p-value: %.3f, df: %d" %(stat_cls, pVal_cls, df_cls))
통계량: -1.674, p-value: 0.094, df: 36
cm.summary(use_t=false)
Test for equality of means
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
subset #1 -0.0860 0.051 -1.674 0.094 -0.187 0.015

위 결과들에서 발생하는 약간의 수치적 차이는 부동소수점들의 연산과정에서 일어나는 불확실성에 의한 것입니다.

Labels:

댓글

댓글 쓰기

이 블로그의 인기 게시물

[Linear Algebra] 유사변환(Similarity transformation)

유사변환(Similarity transformation) n×n 차원의 정방 행렬 A, B 그리고 가역 행렬 P 사이에 식 1의 관계가 성립하면 행렬 A와 B는 유사행렬(similarity matrix)이 되며 행렬 A를 가역행렬 P와 B로 분해하는 것을 유사 변환(similarity transformation) 이라고 합니다. $$\tag{1} A = PBP^{-1} \Leftrightarrow P^{-1}AP = B $$ 식 2는 식 1의 양변에 B의 고유값을 고려한 것입니다. \begin{align}\tag{식 2} B - \lambda I &= P^{-1}AP – \lambda P^{-1}P\\ &= P^{-1}(AP – \lambda P)\\ &= P^{-1}(A - \lambda I)P \end{align} 식 2의 행렬식은 식 3과 같이 정리됩니다. \begin{align} &\begin{aligned}\textsf{det}(B - \lambda I ) & = \textsf{det}(P^{-1}(AP – \lambda P))\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}((A – \lambda I)) \textsf{det}(P)\\ &= \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) \textsf{det}((A – \lambda I))\\ &= \textsf{det}(A – \lambda I)\end{aligned}\\ &\begin{aligned}\because \; \textsf{det}(P^{-1}) \textsf{det}(P) &= \textsf{det}(P^{-1}P)\\ &= \textsf{det}(I)\end{aligned}\end{align} 유사행렬의 특성 유사행렬인 두 정방행렬 A와 B는 'A ~ B' 와 같...
댓글 쓰기
Read more »

[sympy] Sympy객체의 표현을 위한 함수들

Sympy객체의 표현을 위한 함수들 General simplify(x): 식 x(sympy 객체)를 간단히 정리 합니다. import numpy as np from sympy import * x=symbols("x") a=sin(x)**2+cos(x)**2 a $\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}$ simplify(a) 1 simplify(b) $\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ simplify(b) x - 1 c=gamma(x)/gamma(x-2) c $\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(x - 2\right)}$ simplify(c) $\displaystyle \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)$ 위의 예들 중 객체 c의 감마함수(gamma(x))는 확률분포 등 여러 부분에서 사용되는 표현식으로 다음과 같이 정의 됩니다. 감마함수는 음이 아닌 정수를 제외한 모든 수에서 정의됩니다. 식 1과 같이 자연수에서 감마함수는 factorial(!), 부동소수(양의 실수)인 경우 적분을 적용하여 계산합니다. $$\tag{식 1}\Gamma(n) =\begin{cases}(n-1)!& n:\text{자연수}\\\int^\infty_0x^{n-1}e^{-x}\,dx& n:\text{부동소수}\end{cases}$$ x=symbols('x') gamma(x).subs(x,4) $\displaystyle 6$ factorial 계산은 math.factorial() 함수를 사용할 수 있습니다. import math math.factorial(3) 6 a=gamma(x).subs(x,4.5) a.evalf(3) 11.6 simpilfy() 함수의 알고리즘은 식에서 공통사항을 찾아 정리하...
댓글 쓰기
Read more »

sympy.solvers로 방정식해 구하기

sympy.solvers로 방정식해 구하기 대수 방정식을 해를 계산하기 위해 다음 함수를 사용합니다. sympy.solvers.solve(f, *symbols, **flags) f=0, 즉 동차방정식에 대해 지정한 변수의 해를 계산 f : 식 또는 함수 symbols: 식의 해를 계산하기 위한 변수, 변수가 하나인 경우는 생략가능(자동으로 인식) flags: 계산 또는 결과의 방식을 지정하기 위한 인수들 dict=True: {x:3, y:1}같이 사전형식, 기본값 = False set=True :{(x,3),(y,1)}같이 집합형식, 기본값 = False ratioal=True : 실수를 유리수로 반환, 기본값 = False positive=True: 해들 중에 양수만을 반환, 기본값 = False 예 $x^2=1$의 해를 결정합니다. solve() 함수에 적용하기 위해서는 다음과 같이 식의 한쪽이 0이 되는 형태인 동차식으로 구성되어야 합니다. $$x^2-1=0$$ import numpy as np from sympy import * x = symbols('x') solve(x**2-1, x) [-1, 1] 위 식은 계산 과정은 다음과 같습니다. $$\begin{aligned}x^2-1=0 \rightarrow (x+1)(x-1)=0 \\ x=1 \; \text{or}\; -1\end{aligned}$$ 예 $x^4=1$의 해를 결정합니다. solve() 함수의 인수 set=True를 지정하였으므로 결과는 집합(set)형으로 반환됩니다. eq=x**4-1 solve(eq, set=True) ([x], {(-1,), (-I,), (1,), (I,)}) 위의 경우 I는 복소수입니다.즉 위 결과의 과정은 다음과 같습니다. $$x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)=0 \rightarrow x=\pm \sqrt{-1}, \; \pm 1=\pm i,\; \pm1$$ 실수...
댓글 쓰기
Read more »